Theorem 2oneel 7612

Description: ∅ and 1_o are two unequal elements of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2oneel	⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑣,𝑢

Proof of Theorem 2oneel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6695	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2505	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		0lt2o 6704	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4		1lt2o 6705	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
5		neeq1 2433	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 𝑣))
6		neeq2 2434	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 1o → (∅ ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 1o))
7	5, 6	opelopab2 4408	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o))
8	3, 4, 7	mp2an 430	. 2 ⊢ (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o)
9	2, 8	mpbir 146	1 ⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520  ⟨cop 3708  {copab 4186  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-opab 4188  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-1o 6677  df-2o 6678

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7614