Theorem 2oneel 7316

Description: ∅ and 1_o are two unequal elements of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2oneel	⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑣,𝑢

Proof of Theorem 2oneel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6485	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2449	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		0lt2o 6494	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4		1lt2o 6495	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
5		neeq1 2377	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 𝑣))
6		neeq2 2378	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 1o → (∅ ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 1o))
7	5, 6	opelopab2 4301	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o))
8	3, 4, 7	mp2an 426	. 2 ⊢ (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o)
9	2, 8	mpbir 146	1 ⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3446  ⟨cop 3621  {copab 4089  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-opab 4091  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-1o 6469  df-2o 6470

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7318