ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2oneel GIF version

Theorem 2oneel 7290
Description: and 1o are two unequal elements of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
2oneel ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢𝑣)}
Distinct variable group:   𝑣,𝑢

Proof of Theorem 2oneel
StepHypRef Expression
1 1n0 6461 . . 3 1o ≠ ∅
21necomi 2445 . 2 ∅ ≠ 1o
3 0lt2o 6470 . . 3 ∅ ∈ 2o
4 1lt2o 6471 . . 3 1o ∈ 2o
5 neeq1 2373 . . . 4 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑣 ↔ ∅ ≠ 𝑣))
6 neeq2 2374 . . . 4 (𝑣 = 1o → (∅ ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 1o))
75, 6opelopab2 4291 . . 3 ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o))
83, 4, 7mp2an 426 . 2 (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o)
92, 8mpbir 146 1 ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢𝑣)}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  wcel 2160  wne 2360  c0 3437  cop 3613  {copab 4081  1oc1o 6438  2oc2o 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-opab 4083  df-tr 4120  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-1o 6445  df-2o 6446
This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7292
  Copyright terms: Public domain W3C validator