Theorem 2oneel 7405

Description: ∅ and 1_o are two unequal elements of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2oneel	⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑣,𝑢

Proof of Theorem 2oneel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6543	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2463	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		0lt2o 6552	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4		1lt2o 6553	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
5		neeq1 2391	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 𝑣))
6		neeq2 2392	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 1o → (∅ ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 1o))
7	5, 6	opelopab2 4336	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o))
8	3, 4, 7	mp2an 426	. 2 ⊢ (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o)
9	2, 8	mpbir 146	1 ⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∅c0 3469  ⟨cop 3647  {copab 4121  1_oc1o 6520  2_oc2o 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-opab 4123  df-tr 4160  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-1o 6527  df-2o 6528

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7407