Theorem 2oneel 7438

Description: ∅ and 1_o are two unequal elements of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2oneel	⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Distinct variable group:   𝑣,𝑢

Proof of Theorem 2oneel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6576	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2485	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		0lt2o 6585	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4		1lt2o 6586	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
5		neeq1 2413	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 𝑣))
6		neeq2 2414	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 1o → (∅ ≠ 𝑣 ↔ ∅ ≠ 1o))
7	5, 6	opelopab2 4358	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o))
8	3, 4, 7	mp2an 426	. 2 ⊢ (⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)} ↔ ∅ ≠ 1o)
9	2, 8	mpbir 146	1 ⊢ ⟨∅, 1o⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 2o ∧ 𝑣 ∈ 2o) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)}

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  ⟨cop 3669  {copab 4143  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-opab 4145  df-tr 4182  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-1o 6560  df-2o 6561

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7440