Theorem abexex 5976

Description: A condition where a class builder continues to exist after its wff is existentially quantified. (Contributed by NM, 4-Mar-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
abexex.1	|- A e. _V
abexex.2	|- ( ph -> x e. A )
abexex.3	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abexex	|- { y | E. x ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abexex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2394	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
2		abexex.2	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. A )
3	2	pm4.71ri 387	. . . . 5 |- ( ph <-> ( x e. A /\ ph ) )
4	3	exbii 1565	. . . 4 |- ( E. x ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
5	1, 4	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ph )
6	5	abbii 2228	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { y | E. x ph }
7		abexex.1	. . 3 |- A e. _V
8		abexex.3	. . 3 |- { y | ph } e. _V
9	7, 8	abrexex2 5974	. 2 |- { y | E. x e. A ph } e. _V
10	6, 9	eqeltrri 2186	1 |- { y | E. x ph } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1449   e. wcel 1461   {cab 2099   E.wrex 2389   _Vcvv 2655

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087

This theorem is referenced by: (None)