Theorem abexssex 6070

Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both x and y can be free in ph. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abexssex	|- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abexssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2441	. . . 4 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x e. ~P A /\ ph ) )
2		velpw 3550	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
3	2	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P A /\ ph ) <-> ( x C_ A /\ ph ) )
4	3	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. x ( x e. ~P A /\ ph ) <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
5	1, 4	bitri 183	. . 3 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
6	5	abbii 2273	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } = { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) }
7		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
8	7	pwex 4144	. . 3 |- ~P A e. _V
9		abrexex2.2	. . 3 |- { y | ph } e. _V
10	8, 9	abrexex2 6069	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } e. _V
11	6, 10	eqeltrri 2231	1 |- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1472   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   ~Pcpw 3543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177

This theorem is referenced by: (None)