Theorem abexssex 6031

Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both x and y can be free in ph. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abexssex	|- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abexssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2423	. . . 4 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x e. ~P A /\ ph ) )
2		velpw 3522	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
3	2	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P A /\ ph ) <-> ( x C_ A /\ ph ) )
4	3	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. x ( x e. ~P A /\ ph ) <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
5	1, 4	bitri 183	. . 3 |- ( E. x e. ~P A ph <-> E. x ( x C_ A /\ ph ) )
6	5	abbii 2256	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } = { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) }
7		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
8	7	pwex 4115	. . 3 |- ~P A e. _V
9		abrexex2.2	. . 3 |- { y | ph } e. _V
10	8, 9	abrexex2 6030	. 2 |- { y | E. x e. ~P A ph } e. _V
11	6, 10	eqeltrri 2214	1 |- { y | E. x ( x C_ A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)