Theorem abexssex 6270

Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both 𝑥 and 𝑦 can be free in 𝜑. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
abrexex2.2	⊢ {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ V

Assertion

Ref	Expression
abexssex	⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abexssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2514	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝜑))
2		velpw 3656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
3	2	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑))
4	3	exbii 1651	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑))
5	1, 4	bitri 184	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑))
6	5	abbii 2345	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑} = {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)}
7		abrexex2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	pwex 4267	. . 3 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ V
9		abrexex2.2	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ V
10	8, 9	abrexex2 6269	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑} ∈ V
11	6, 10	eqeltrri 2303	1 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326

This theorem is referenced by: (None)