Theorem adddirp1d 8134

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	|- ( ph -> A e. CC )
adddirp1d.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	|- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		1cnd 8123	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
3		adddirp1d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4	1, 2, 3	adddird 8133	. 2 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) )
5	3	mulid2d 8126	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
6	5	oveq2d 5983	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) = ( ( A x. B ) + B ) )
7	4, 6	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-mulcl 8058  ax-mulcom 8061  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-1rid 8067  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970

This theorem is referenced by:  modqvalp1  10525  hashxp  11008  fsumconst  11880  divalglemnqt  12346  pcexp  12747  mulgnnass  13608  cnfldmulg  14453  2lgsoddprmlem3d  15702