Theorem adddirp1d 8046

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	|- ( ph -> A e. CC )
adddirp1d.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	|- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		1cnd 8035	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
3		adddirp1d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4	1, 2, 3	adddird 8045	. 2 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) )
5	3	mulid2d 8038	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
6	5	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) = ( ( A x. B ) + B ) )
7	4, 6	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970  ax-mulcom 7973  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-1rid 7979  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by:  modqvalp1  10414  hashxp  10897  fsumconst  11597  divalglemnqt  12061  pcexp  12447  mulgnnass  13227  cnfldmulg  14064  2lgsoddprmlem3d  15198