Theorem adddirp1d 8098

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	|- ( ph -> A e. CC )
adddirp1d.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	|- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		1cnd 8087	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
3		adddirp1d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4	1, 2, 3	adddird 8097	. 2 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) )
5	3	mulid2d 8090	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
6	5	oveq2d 5959	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + ( 1 x. B ) ) = ( ( A x. B ) + B ) )
7	4, 6	eqtrd 2237	1 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   CCcc 7922   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-mulcl 8022  ax-mulcom 8025  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-1rid 8031  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946

This theorem is referenced by:  modqvalp1  10486  hashxp  10969  fsumconst  11736  divalglemnqt  12202  pcexp  12603  mulgnnass  13464  cnfldmulg  14309  2lgsoddprmlem3d  15558