Theorem modqvalp1 10438

Description: The value of the modulo operation (expressed with sum of denominator and nominator). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqvalp1	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqvalp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9711	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
2	1	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
3		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
4	3	gt0ne0d 8542	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
5		qdivcl 9720	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
6	4, 5	syld3an3 1294	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
7	6	flqcld 10370	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zcnd 9452	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
9		qcn 9711	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
10	9	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
11	8, 10	mulcld 8050	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) e. CC )
12	2, 11, 10	pnpcan2d 8378	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) ) = ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) )
13	8, 10	adddirp1d 8056	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) = ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) )
14	13	oveq2d 5939	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) ) )
15		modqvalr 10420	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) )
16	12, 14, 15	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   0cc0 7882   1c1 7883   + caddc 7885   x. cmul 7887   < clt 8064   - cmin 8200   / cdiv 8702   QQcq 9696   |_cfl 10361   mod cmo 10417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-q 9697  df-rp 9732  df-fl 10363  df-mod 10418

This theorem is referenced by: (None)