Theorem modqvalp1 10251

Description: The value of the modulo operation (expressed with sum of denominator and nominator). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqvalp1	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqvalp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9549	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
2	1	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. CC )
3		simp3 984	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
4	3	gt0ne0d 8391	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
5		qdivcl 9558	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
6	4, 5	syld3an3 1265	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A / B ) e. QQ )
7	6	flqcld 10185	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
8	7	zcnd 9292	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. CC )
9		qcn 9549	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
10	9	3ad2ant2 1004	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. CC )
11	8, 10	mulcld 7900	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) e. CC )
12	2, 11, 10	pnpcan2d 8228	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) ) = ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) )
13	8, 10	adddirp1d 7906	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) = ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) )
14	13	oveq2d 5842	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) + B ) ) )
15		modqvalr 10233	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( ( |_ ` ( A / B ) ) x. B ) ) )
16	12, 14, 15	3eqtr4d 2200	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A + B ) - ( ( ( |_ ` ( A / B ) ) + 1 ) x. B ) ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   0cc0 7734   1c1 7735   + caddc 7737   x. cmul 7739   < clt 7914   - cmin 8050   / cdiv 8549   QQcq 9534   |_cfl 10176   mod cmo 10230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231

This theorem is referenced by: (None)