ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqvalp1 Unicode version

Theorem modqvalp1 10251
Description: The value of the modulo operation (expressed with sum of denominator and nominator). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqvalp1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  -  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  1 )  x.  B ) )  =  ( A  mod  B
) )

Proof of Theorem modqvalp1
StepHypRef Expression
1 qcn 9549 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant1 1003 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  A  e.  CC )
3 simp3 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
43gt0ne0d 8391 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
5 qdivcl 9558 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
64, 5syld3an3 1265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
76flqcld 10185 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
87zcnd 9292 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
9 qcn 9549 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
1093ad2ant2 1004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  B  e.  CC )
118, 10mulcld 7900 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B )  e.  CC )
122, 11, 10pnpcan2d 8228 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  -  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B )  +  B ) )  =  ( A  -  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B ) ) )
138, 10adddirp1d 7906 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( ( |_ `  ( A  /  B
) )  +  1 )  x.  B )  =  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B )  +  B ) )
1413oveq2d 5842 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  -  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  1 )  x.  B ) )  =  ( ( A  +  B )  -  (
( ( |_ `  ( A  /  B
) )  x.  B
)  +  B ) ) )
15 modqvalr 10233 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B ) ) )
1612, 14, 153eqtr4d 2200 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  B
)  -  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  1 )  x.  B ) )  =  ( A  mod  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   0cc0 7734   1c1 7735    + caddc 7737    x. cmul 7739    < clt 7914    - cmin 8050    / cdiv 8549   QQcq 9534   |_cfl 10176    mod cmo 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator