Theorem adddird 8057

Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
addcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
addassd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
adddird	|- ( ph -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )

Proof of Theorem adddird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		addassd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		adddir 8022	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   CCcc 7882   + caddc 7887   x. cmul 7889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-addcl 7980  ax-mulcom 7985  ax-distr 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8058  joinlmuladdmuld  8059  1p1times  8165  recextlem1  8683  divdirap  8729  subsq  10743  subsq2  10744  binom2  10748  binom3  10754  remullem  11041  resqrexlemover  11180  resqrexlemcalc1  11184  bdtrilem  11409  binomlem  11653  mul4sqlem  12575  dvexp  14994  plyaddlem1  15030  rpcxpadd  15188  binom4  15262  lgsquad2lem1  15369  2sqlem4  15406