ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddirp1d GIF version

Theorem adddirp1d 7577
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 7567 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 adddirp1d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 7576 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
53mulid2d 7569 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 5684 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
74, 6eqtrd 2121 1 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1290  wcel 1439  (class class class)co 5668  cc 7411  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-mulcl 7506  ax-mulcom 7509  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-1rid 7515  ax-cnre 7519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-iota 4995  df-fv 5038  df-ov 5671
This theorem is referenced by:  modqvalp1  9813  hashxp  10297  fsumconst  10911  divalglemnqt  11261
  Copyright terms: Public domain W3C validator