ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddirp1d GIF version

Theorem adddirp1d 8003
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
adddirp1d.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 1cnd 7992 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 adddirp1d.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3adddird 8002 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
53mulid2d 7995 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
65oveq2d 5907 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
74, 6eqtrd 2222 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-mulcl 7928  ax-mulcom 7931  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-1rid 7937  ax-cnre 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5193  df-fv 5239  df-ov 5894
This theorem is referenced by:  modqvalp1  10362  hashxp  10825  fsumconst  11481  divalglemnqt  11944  pcexp  12328  mulgnnass  13069  cnfldmulg  13846  2lgsoddprmlem3d  14861
  Copyright terms: Public domain W3C validator