ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddirp1d GIF version

Theorem adddirp1d 7997
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
adddirp1d.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 1cnd 7986 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 adddirp1d.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3adddird 7996 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
53mulid2d 7989 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
65oveq2d 5904 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
74, 6eqtrd 2220 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-mulcl 7922  ax-mulcom 7925  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-1rid 7931  ax-cnre 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891
This theorem is referenced by:  modqvalp1  10356  hashxp  10819  fsumconst  11475  divalglemnqt  11938  pcexp  12322  mulgnnass  13049  cnfldmulg  13727  2lgsoddprmlem3d  14729
  Copyright terms: Public domain W3C validator