Theorem adddirp1d 8112

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 8101	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		adddirp1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 8111	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
5	3	mulid2d 8104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
6	5	oveq2d 5970	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
7	4, 6	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-mulcl 8036  ax-mulcom 8039  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-1rid 8045  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-iota 5238  df-fv 5285  df-ov 5957

This theorem is referenced by:  modqvalp1  10501  hashxp  10984  fsumconst  11815  divalglemnqt  12281  pcexp  12682  mulgnnass  13543  cnfldmulg  14388  2lgsoddprmlem3d  15637