Theorem adddirp1d 8161

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 8150	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		adddirp1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 8160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
5	3	mulid2d 8153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
6	5	oveq2d 6010	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
7	4, 6	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  1c1 7988   + caddc 7990   · cmul 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-mulcl 8085  ax-mulcom 8088  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-1rid 8094  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5274  df-fv 5322  df-ov 5997

This theorem is referenced by:  modqvalp1  10552  hashxp  11035  fsumconst  11951  divalglemnqt  12417  pcexp  12818  mulgnnass  13680  cnfldmulg  14525  2lgsoddprmlem3d  15774