Theorem mulgnnass 13734

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	|- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n x. N ) = ( 1 x. N ) )
2	1	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( 1 x. N ) .x. X ) )
3		oveq1 6020	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
6		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n x. N ) = ( m x. N ) )
7	6	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( m x. N ) .x. X ) )
8		oveq1 6020	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
11		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. N ) = ( ( m + 1 ) x. N ) )
12	11	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) )
13		oveq1 6020	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
16		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( n x. N ) = ( M x. N ) )
17	16	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
18		oveq1 6020	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
21		nncn 9141	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
22	21	mulid2d 8188	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
23	22	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 x. N ) = N )
24	23	oveq1d 6028	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
25		sgrpmgm 13480	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
28	26, 27	mulgnncl 13714	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mgm /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
29	25, 28	syl3an1 1304	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Smgrp /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
30	29	3coml 1234	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( N .x. X ) e. B )
31	26, 27	mulg1 13706	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. X ) e. B -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
33	24, 32	eqtr4d 2265	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
34		oveq1 6020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
35		nncn 9141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> m e. CC )
37		simpr1 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. NN )
38	37	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. CC )
39	36, 38	adddirp1d 8196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) x. N ) = ( ( m x. N ) + N ) )
40	39	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) )
41		simpr3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> G e. Smgrp )
42		nnmulcl 9154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( m x. N ) e. NN )
43	42	3ad2antr1 1186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( m x. N ) e. NN )
44		simpr2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> X e. B )
45		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
46	26, 27, 45	mulgnndir 13728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( ( m x. N ) e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
51	48, 50	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) ) )
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9149	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
56	55	3expd 1248	. . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( G e. Smgrp -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com4r 86	. 2 |- ( G e. Smgrp -> ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	3imp2 1246	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   NNcn 9133   Basecbs 13072   +g cplusg 13150  Mgmcmgm 13427  Smgrpcsgrp 13474  ._gcmg 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-seqfrec 10700  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-minusg 13577  df-mulg 13697

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13735