Theorem mulgnnass 13874

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	|- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n x. N ) = ( 1 x. N ) )
2	1	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( 1 x. N ) .x. X ) )
3		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
6		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n x. N ) = ( m x. N ) )
7	6	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( m x. N ) .x. X ) )
8		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
11		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. N ) = ( ( m + 1 ) x. N ) )
12	11	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) )
13		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
16		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( n x. N ) = ( M x. N ) )
17	16	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
18		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
21		nncn 9245	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
22	21	mullidd 8292	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
23	22	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 x. N ) = N )
24	23	oveq1d 6065	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
25		sgrpmgm 13620	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
28	26, 27	mulgnncl 13854	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mgm /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
29	25, 28	syl3an1 1307	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Smgrp /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
30	29	3coml 1237	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( N .x. X ) e. B )
31	26, 27	mulg1 13846	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. X ) e. B -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
33	24, 32	eqtr4d 2268	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
34		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
35		nncn 9245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> m e. CC )
37		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. NN )
38	37	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. CC )
39	36, 38	adddirp1d 8300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) x. N ) = ( ( m x. N ) + N ) )
40	39	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) )
41		simpr3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> G e. Smgrp )
42		nnmulcl 9258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( m x. N ) e. NN )
43	42	3ad2antr1 1189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( m x. N ) e. NN )
44		simpr2 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> X e. B )
45		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
46	26, 27, 45	mulgnndir 13868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( ( m x. N ) e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
51	48, 50	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) ) )
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9253	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
56	55	3expd 1251	. . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( G e. Smgrp -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com4r 86	. 2 |- ( G e. Smgrp -> ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	3imp2 1249	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   NNcn 9237   Basecbs 13212   +g cplusg 13290  Mgmcmgm 13567  Smgrpcsgrp 13614  ._gcmg 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-minusg 13717  df-mulg 13837

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13875