Theorem mulgnnass 13937

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	|- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n x. N ) = ( 1 x. N ) )
2	1	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( 1 x. N ) .x. X ) )
3		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
6		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n x. N ) = ( m x. N ) )
7	6	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( m x. N ) .x. X ) )
8		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
11		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. N ) = ( ( m + 1 ) x. N ) )
12	11	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) )
13		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
16		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( n x. N ) = ( M x. N ) )
17	16	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
18		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
21		nncn 9291	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
22	21	mullidd 8334	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
23	22	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 x. N ) = N )
24	23	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
25		sgrpmgm 13699	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
28	26, 27	mulgnncl 13917	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mgm /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
29	25, 28	syl3an1 1311	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Smgrp /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
30	29	3coml 1241	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( N .x. X ) e. B )
31	26, 27	mulg1 13909	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. X ) e. B -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
33	24, 32	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
34		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
35		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> m e. CC )
37		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. NN )
38	37	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. CC )
39	36, 38	adddirp1d 8342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) x. N ) = ( ( m x. N ) + N ) )
40	39	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) )
41		simpr3 1036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> G e. Smgrp )
42		nnmulcl 9304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( m x. N ) e. NN )
43	42	3ad2antr1 1193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( m x. N ) e. NN )
44		simpr2 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> X e. B )
45		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
46	26, 27, 45	mulgnndir 13931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( ( m x. N ) e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
51	48, 50	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) ) )
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9299	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
56	55	3expd 1255	. . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( G e. Smgrp -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com4r 86	. 2 |- ( G e. Smgrp -> ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	3imp2 1253	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   NNcn 9283   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Mgmcmgm 13651  Smgrpcsgrp 13693  ._gcmg 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-minusg 13786  df-mulg 13900

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13938