Theorem mulgnnass 13287

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	|- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n x. N ) = ( 1 x. N ) )
2	1	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( 1 x. N ) .x. X ) )
3		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
6		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n x. N ) = ( m x. N ) )
7	6	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( m x. N ) .x. X ) )
8		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
11		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. N ) = ( ( m + 1 ) x. N ) )
12	11	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) )
13		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
16		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( n x. N ) = ( M x. N ) )
17	16	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
18		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
21		nncn 8998	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
22	21	mulid2d 8045	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
23	22	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 x. N ) = N )
24	23	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
25		sgrpmgm 13050	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
28	26, 27	mulgnncl 13267	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mgm /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
29	25, 28	syl3an1 1282	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Smgrp /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
30	29	3coml 1212	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( N .x. X ) e. B )
31	26, 27	mulg1 13259	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. X ) e. B -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
33	24, 32	eqtr4d 2232	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
34		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
35		nncn 8998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> m e. CC )
37		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. NN )
38	37	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. CC )
39	36, 38	adddirp1d 8053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) x. N ) = ( ( m x. N ) + N ) )
40	39	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) )
41		simpr3 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> G e. Smgrp )
42		nnmulcl 9011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( m x. N ) e. NN )
43	42	3ad2antr1 1164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( m x. N ) e. NN )
44		simpr2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> X e. B )
45		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
46	26, 27, 45	mulgnndir 13281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( ( m x. N ) e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
51	48, 50	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) ) )
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9006	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
56	55	3expd 1226	. . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( G e. Smgrp -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com4r 86	. 2 |- ( G e. Smgrp -> ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	3imp2 1224	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   NNcn 8990   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Mgmcmgm 12997  Smgrpcsgrp 13044  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-minusg 13136  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13288