Theorem mulgnnass 13824

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	|- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n x. N ) = ( 1 x. N ) )
2	1	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( 1 x. N ) .x. X ) )
3		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
6		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( n x. N ) = ( m x. N ) )
7	6	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( m x. N ) .x. X ) )
8		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
11		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. N ) = ( ( m + 1 ) x. N ) )
12	11	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) )
13		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
16		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( n x. N ) = ( M x. N ) )
17	16	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
18		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n .x. ( N .x. X ) ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( n x. N ) .x. X ) = ( n .x. ( N .x. X ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
21		nncn 9210	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
22	21	mullidd 8257	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
23	22	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 x. N ) = N )
24	23	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
25		sgrpmgm 13570	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
28	26, 27	mulgnncl 13804	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mgm /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
29	25, 28	syl3an1 1307	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Smgrp /\ N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
30	29	3coml 1237	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( N .x. X ) e. B )
31	26, 27	mulg1 13796	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. X ) e. B -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( 1 .x. ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
33	24, 32	eqtr4d 2267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( 1 x. N ) .x. X ) = ( 1 .x. ( N .x. X ) ) )
34		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
35		nncn 9210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> m e. CC )
37		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. NN )
38	37	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> N e. CC )
39	36, 38	adddirp1d 8265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) x. N ) = ( ( m x. N ) + N ) )
40	39	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) )
41		simpr3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> G e. Smgrp )
42		nnmulcl 9223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( m x. N ) e. NN )
43	42	3ad2antr1 1189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( m x. N ) e. NN )
44		simpr2 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> X e. B )
45		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
46	26, 27, 45	mulgnndir 13818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( ( m x. N ) e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) + N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) )
51	48, 50	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) <-> ( ( ( m x. N ) .x. X ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) = ( ( m .x. ( N .x. X ) ) ( +g ` G ) ( N .x. X ) ) ) )
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN /\ ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
54	53	a2d 26	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( m x. N ) .x. X ) = ( m .x. ( N .x. X ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( ( m + 1 ) x. N ) .x. X ) = ( ( m + 1 ) .x. ( N .x. X ) ) ) ) )
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9218	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ X e. B /\ G e. Smgrp ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) )
56	55	3expd 1251	. . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( G e. Smgrp -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com4r 86	. 2 |- ( G e. Smgrp -> ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( X e. B -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	3imp2 1249	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   NNcn 9202   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  Mgmcmgm 13517  Smgrpcsgrp 13564  ._gcmg 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-seqfrec 10773  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-minusg 13667  df-mulg 13787

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13825