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Theorem mulgnnass 13018
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnnass  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
21oveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( 1  x.  N )  .x.  X ) )
3 oveq1 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
42, 3eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
n  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
6 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  N )  =  ( m  x.  N ) )
76oveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  x.  N )  .x.  X ) )
8 oveq1 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
97, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
n  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
11 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  N )  =  ( ( m  +  1 )  x.  N ) )
1211oveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X ) )
13 oveq1 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1412, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
n  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
16 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
1716oveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
18 oveq1 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1917, 18eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
n  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) ) )
21 nncn 8927 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid2d 7976 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
23223ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
2423oveq1d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( ( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
25 sgrpmgm 12813 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. Smgrp  ->  G  e. Mgm )
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2826, 27mulgnncl 12998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. Mgm  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
2925, 28syl3an1 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
30293coml 1210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
3126, 27mulg1 12990 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  X )  e.  B  ->  (
1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
3230, 31syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( 1  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( N  .x.  X ) )
3324, 32eqtr4d 2213 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( ( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X
) ) )
34 oveq1 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
35 nncn 8927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  m  e.  CC )
37 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 8933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  N  e.  CC )
3936, 38adddirp1d 7984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( m  + 
1 )  x.  N
)  =  ( ( m  x.  N )  +  N ) )
4039oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( ( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X ) )
41 simpr3 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  G  e. Smgrp )
42 nnmulcl 8940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
43423ad2antr1 1162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
44 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  X  e.  B )
45 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4626, 27, 45mulgnndir 13012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  (
( m  x.  N
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
4840, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
4926, 27, 45mulgnnp1 12991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5030, 49sylan2 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5148, 50eqeq12d 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) )  <-> 
( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) ) )
5234, 51imbitrrid 156 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp ) )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N 
.x.  X ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
5352ex 115 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X
)  =  ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) )  -> 
( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
5453a2d 26 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 8935 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. Smgrp )  ->  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
56553expd 1224 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( G  e. Smgrp  ->  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
5756com4r 86 . 2  |-  ( G  e. Smgrp  ->  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( M  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
58573imp2 1222 1  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   1c1 7812    + caddc 7814    x. cmul 7816   NNcn 8919   Basecbs 12462   +g cplusg 12536  Mgmcmgm 12773  Smgrpcsgrp 12807  .gcmg 12983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-seqfrec 10446  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-minusg 12881  df-mulg 12984
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13019
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