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Theorem mptelixpg 6759
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2763 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
2 nfcv 2332 . . . . . 6  |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 3105 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ K
4 csbeq1a 3081 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  K  =  [_ y  /  x ]_ K )
52, 3, 4cbvixp 6740 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  K  =  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K
65eleq2i 2256 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K )
7 elixp2 6727 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) )
8 3anass 984 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  (
( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) ) )
96, 7, 83bitri 206 . . 3  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) )
10 eqid 2189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1110fnmpt 5361 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I )
1210fvmpt2 5619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
13 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  J  e.  K )
1412, 13eqeltrd 2266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)
1514ralimiaa 2552 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K )
1611, 15jca 306 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
17 dffn2 5386 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1810fmpt 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1910fvmpt2 5619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
2019eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  <->  J  e.  K
) )
2120biimpd 144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  J  e.  K ) )
2221ralimiaa 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  A. x  e.  I  ( (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  J  e.  K )
)
23 ralim 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  J  e.  K )  ->  ( A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2518, 24sylbir 135 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V  ->  ( A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2617, 25sylbi 121 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  -> 
( A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2726imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
2816, 27impbii 126 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
29 nfv 1539 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
30 nffvmpt1 5545 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )
3130, 3nfel 2341 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
32 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y ) )
3332, 4eleq12d 2260 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3429, 31, 33cbvral 2714 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  <->  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )
3534anbi2i 457 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3628, 35bitri 184 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
37 mptexg 5761 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
3837biantrurd 305 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) ) )
3936, 38bitr2id 193 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  e. 
_V  /\  ( (
x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )  <->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
409, 39bitrid 192 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
411, 40syl 14 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   [_csb 3072    |-> cmpt 4079    Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235   X_cixp 6723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ixp 6724
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