Theorem mptelixpg 6788

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptelixpg	|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   J( x)   K( x)   V( x)

Proof of Theorem mptelixpg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. 2 |- ( I e. V -> I e. _V )
2		nfcv 2336	. . . . . 6 |- F/_ y K
3		nfcsb1v 3113	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ K
4		csbeq1a 3089	. . . . . 6 |- ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5	2, 3, 4	cbvixp 6769	. . . . 5 |- X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6	5	eleq2i 2260	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7		elixp2 6756	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8		3anass 984	. . . 4 |- ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9	6, 7, 8	3bitri 206	. . 3 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11	10	fnmpt 5380	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12	10	fvmpt2 5641	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14	12, 13	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15	14	ralimiaa 2556	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16	11, 15	jca 306	. . . . . 6 |- ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17		dffn2 5405	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18	10	fmpt 5708	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19	10	fvmpt2 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20	19	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22	21	ralimiaa 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23		ralim 2553	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25	18, 24	sylbir 135	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26	17, 25	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27	26	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28	16, 27	impbii 126	. . . . 5 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29		nfv 1539	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30		nffvmpt1 5565	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31	30, 3	nfel 2345	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33	32, 4	eleq12d 2264	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34	29, 31, 33	cbvral 2722	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35	34	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36	28, 35	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37		mptexg 5783	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38	37	biantrurd 305	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39	36, 38	bitr2id 193	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40	9, 39	bitrid 192	. 2 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3080   |-> cmpt 4090   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254   X_cixp 6752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ixp 6753

This theorem is referenced by: (None)