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Theorem mptelixpg 6558
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2652 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
2 nfcv 2240 . . . . . 6  |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 2985 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ K
4 csbeq1a 2963 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  K  =  [_ y  /  x ]_ K )
52, 3, 4cbvixp 6539 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  K  =  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K
65eleq2i 2166 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K )
7 elixp2 6526 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) )
8 3anass 934 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  (
( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) ) )
96, 7, 83bitri 205 . . 3  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) )
10 eqid 2100 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1110fnmpt 5185 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I )
1210fvmpt2 5436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
13 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  J  e.  K )
1412, 13eqeltrd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)
1514ralimiaa 2453 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K )
1611, 15jca 302 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
17 dffn2 5210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1810fmpt 5502 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1910fvmpt2 5436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
2019eleq1d 2168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  <->  J  e.  K
) )
2120biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  J  e.  K ) )
2221ralimiaa 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  A. x  e.  I  ( (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  J  e.  K )
)
23 ralim 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  J  e.  K )  ->  ( A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2518, 24sylbir 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V  ->  ( A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2617, 25sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  -> 
( A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2726imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
2816, 27impbii 125 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
29 nfv 1476 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
30 nffvmpt1 5364 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )
3130, 3nfel 2249 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
32 fveq2 5353 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y ) )
3332, 4eleq12d 2170 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3429, 31, 33cbvral 2608 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  <->  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )
3534anbi2i 448 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3628, 35bitri 183 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
37 mptexg 5577 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
3837biantrurd 301 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) ) )
3936, 38syl5rbb 192 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  e. 
_V  /\  ( (
x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )  <->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
409, 39syl5bb 191 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
411, 40syl 14 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    e. wcel 1448   A.wral 2375   _Vcvv 2641   [_csb 2955    |-> cmpt 3929    Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059   X_cixp 6522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ixp 6523
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