Theorem mptelixpg 6902

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptelixpg	|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   J( x)   K( x)   V( x)

Proof of Theorem mptelixpg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. 2 |- ( I e. V -> I e. _V )
2		nfcv 2374	. . . . . 6 |- F/_ y K
3		nfcsb1v 3160	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ K
4		csbeq1a 3136	. . . . . 6 |- ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5	2, 3, 4	cbvixp 6883	. . . . 5 |- X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6	5	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7		elixp2 6870	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8		3anass 1008	. . . 4 |- ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9	6, 7, 8	3bitri 206	. . 3 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11	10	fnmpt 5459	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12	10	fvmpt2 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14	12, 13	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15	14	ralimiaa 2594	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16	11, 15	jca 306	. . . . . 6 |- ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17		dffn2 5484	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18	10	fmpt 5797	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19	10	fvmpt2 5730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20	19	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22	21	ralimiaa 2594	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23		ralim 2591	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25	18, 24	sylbir 135	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26	17, 25	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27	26	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28	16, 27	impbii 126	. . . . 5 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29		nfv 1576	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30		nffvmpt1 5650	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31	30, 3	nfel 2383	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33	32, 4	eleq12d 2302	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34	29, 31, 33	cbvral 2763	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35	34	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36	28, 35	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37		mptexg 5878	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38	37	biantrurd 305	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39	36, 38	bitr2id 193	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40	9, 39	bitrid 192	. 2 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [_csb 3127   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326   X_cixp 6866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ixp 6867

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt  13362  prdsbasmpt2  13370