Theorem mptelixpg 6712

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptelixpg	|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   J( x)   K( x)   V( x)

Proof of Theorem mptelixpg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2741	. 2 |- ( I e. V -> I e. _V )
2		nfcv 2312	. . . . . 6 |- F/_ y K
3		nfcsb1v 3082	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ K
4		csbeq1a 3058	. . . . . 6 |- ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5	2, 3, 4	cbvixp 6693	. . . . 5 |- X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6	5	eleq2i 2237	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7		elixp2 6680	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8		3anass 977	. . . 4 |- ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9	6, 7, 8	3bitri 205	. . 3 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11	10	fnmpt 5324	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12	10	fvmpt2 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14	12, 13	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15	14	ralimiaa 2532	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16	11, 15	jca 304	. . . . . 6 |- ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17		dffn2 5349	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18	10	fmpt 5646	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19	10	fvmpt2 5579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20	19	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21	20	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22	21	ralimiaa 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23		ralim 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25	18, 24	sylbir 134	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26	17, 25	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27	26	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28	16, 27	impbii 125	. . . . 5 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29		nfv 1521	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30		nffvmpt1 5507	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31	30, 3	nfel 2321	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33	32, 4	eleq12d 2241	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34	29, 31, 33	cbvral 2692	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35	34	anbi2i 454	. . . . 5 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36	28, 35	bitri 183	. . . 4 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37		mptexg 5721	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38	37	biantrurd 303	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39	36, 38	bitr2id 192	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40	9, 39	syl5bb 191	. 2 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [_csb 3049   |-> cmpt 4050   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198   X_cixp 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ixp 6677

This theorem is referenced by: (None)