Theorem mptelixpg 6700

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptelixpg	|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   J( x)   K( x)   V( x)

Proof of Theorem mptelixpg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. 2 |- ( I e. V -> I e. _V )
2		nfcv 2308	. . . . . 6 |- F/_ y K
3		nfcsb1v 3078	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ K
4		csbeq1a 3054	. . . . . 6 |- ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5	2, 3, 4	cbvixp 6681	. . . . 5 |- X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6	5	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7		elixp2 6668	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8		3anass 972	. . . 4 |- ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9	6, 7, 8	3bitri 205	. . 3 |- ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11	10	fnmpt 5314	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12	10	fvmpt2 5569	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14	12, 13	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15	14	ralimiaa 2528	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16	11, 15	jca 304	. . . . . 6 |- ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17		dffn2 5339	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18	10	fmpt 5635	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19	10	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20	19	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21	20	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22	21	ralimiaa 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23		ralim 2525	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25	18, 24	sylbir 134	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26	17, 25	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27	26	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28	16, 27	impbii 125	. . . . 5 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29		nfv 1516	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30		nffvmpt1 5497	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31	30, 3	nfel 2317	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33	32, 4	eleq12d 2237	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34	29, 31, 33	cbvral 2688	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35	34	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36	28, 35	bitri 183	. . . 4 |- ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37		mptexg 5710	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38	37	biantrurd 303	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39	36, 38	bitr2id 192	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40	9, 39	syl5bb 191	. 2 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   [_csb 3045   |-> cmpt 4043   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188   X_cixp 6664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ixp 6665

This theorem is referenced by: (None)