ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctiunctal Unicode version

Theorem ctiunctal 12396
Description: Variation of ctiunct 12395 which allows  x to be present in  ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ctiunctal.a  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> ( A 1o ) )
ctiunctal.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  G : om -onto-> ( B 1o ) )
Assertion
Ref Expression
ctiunctal  |-  ( ph  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  A  B 1o ) )
Distinct variable groups:    A, h, x    B, h    x, F
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( x)    F( h)    G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctiunctal.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> ( A 1o ) )
2 ctiunctal.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  G : om -onto-> ( B 1o ) )
3 nfv 1521 . . . . . 6  |-  F/ y  G : om -onto-> ( B 1o )
4 nfcsb1v 3082 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ G
5 nfcv 2312 . . . . . . 7  |-  F/_ x om
6 nfcsb1v 3082 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
7 nfcv 2312 . . . . . . . 8  |-  F/_ x 1o
86, 7nfdju 7019 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ B 1o )
94, 5, 8nffo 5419 . . . . . 6  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ G : om -onto-> ( [_ y  /  x ]_ B 1o )
10 csbeq1a 3058 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  G  =  [_ y  /  x ]_ G )
11 eqidd 2171 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  om  =  om )
12 csbeq1a 3058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
13 djueq1 7017 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  ( B 1o )  =  (
[_ y  /  x ]_ B 1o ) )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B 1o )  =  (
[_ y  /  x ]_ B 1o ) )
1510, 11, 14foeq123d 5436 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G : om -onto-> ( B 1o )  <->  [_ y  /  x ]_ G : om -onto-> ( [_ y  /  x ]_ B 1o ) ) )
163, 9, 15cbvral 2692 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  G : om -onto-> ( B 1o )  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ G : om -onto-> ( [_ y  /  x ]_ B 1o ) )
172, 16sylib 121 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ G : om -onto-> ( [_ y  /  x ]_ B 1o ) )
1817r19.21bi 2558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ G : om -onto-> ( [_ y  /  x ]_ B 1o ) )
191, 18ctiunct 12395 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o )
)
20 nfcv 2312 . . . . 5  |-  F/_ y B
2120, 6, 12cbviun 3910 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
22 djueq1 7017 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  ->  ( U_ x  e.  A  B 1o )  =  ( U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o )
)
23 foeq3 5418 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B 1o )  =  (
U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o )  ->  (
h : om -onto-> ( U_ x  e.  A  B 1o )  <->  h : om -onto-> ( U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o )
) )
2421, 22, 23mp2b 8 . . 3  |-  ( h : om -onto-> ( U_ x  e.  A  B 1o )  <->  h : om -onto->
( U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o ) )
2524exbii 1598 . 2  |-  ( E. h  h : om -onto->
( U_ x  e.  A  B 1o )  <->  E. h  h : om -onto-> ( U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B 1o ) )
2619, 25sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  A  B 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485   A.wral 2448   [_csb 3049   U_ciun 3873   omcom 4574   -onto->wfo 5196   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750
This theorem is referenced by:  omiunct  12399
  Copyright terms: Public domain W3C validator