Theorem ctiunctal 12374

Description: Variation of ctiunct 12373 which allows x to be present in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctiunctal.b	|- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, h, x   B, h   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( x)   F( h)   G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
2		ctiunctal.b	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3		nfv 1516	. . . . . 6 |- F/ y G : om -onto-> ( B ⊔ 1o )
4		nfcsb1v 3078	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ G
5		nfcv 2308	. . . . . . 7 |- F/_ x om
6		nfcsb1v 3078	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		nfcv 2308	. . . . . . . 8 |- F/_ x 1o
8	6, 7	nfdju 7007	. . . . . . 7 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
9	4, 5, 8	nffo 5409	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
10		csbeq1a 3054	. . . . . . 7 |- ( x = y -> G = [_ y / x ]_ G )
11		eqidd 2166	. . . . . . 7 |- ( x = y -> om = om )
12		csbeq1a 3054	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13		djueq1 7005	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
15	10, 11, 14	foeq123d 5426	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
16	3, 9, 15	cbvral 2688	. . . . 5 |- ( A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
17	2, 16	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
18	17	r19.21bi 2554	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
19	1, 18	ctiunct 12373	. 2 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
20		nfcv 2308	. . . . 5 |- F/_ y B
21	20, 6, 12	cbviun 3903	. . . 4 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
22		djueq1 7005	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
23		foeq3 5408	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
25	24	exbii 1593	. 2 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
26	19, 25	sylibr 133	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   A.wral 2444   [_csb 3045   U_ciun 3866   omcom 4567   -onto->wfo 5186   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  omiunct  12377