Theorem ctiunctal 13007

Description: Variation of ctiunct 13006 which allows x to be present in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctiunctal.b	|- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, h, x   B, h   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( x)   F( h)   G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
2		ctiunctal.b	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ y G : om -onto-> ( B ⊔ 1o )
4		nfcsb1v 3157	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ G
5		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ x om
6		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ x 1o
8	6, 7	nfdju 7205	. . . . . . 7 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
9	4, 5, 8	nffo 5546	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
10		csbeq1a 3133	. . . . . . 7 |- ( x = y -> G = [_ y / x ]_ G )
11		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( x = y -> om = om )
12		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13		djueq1 7203	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
15	10, 11, 14	foeq123d 5564	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
16	3, 9, 15	cbvral 2761	. . . . 5 |- ( A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
18	17	r19.21bi 2618	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
19	1, 18	ctiunct 13006	. 2 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
20		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ y B
21	20, 6, 12	cbviun 4001	. . . 4 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
22		djueq1 7203	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
23		foeq3 5545	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
25	24	exbii 1651	. 2 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
26	19, 25	sylibr 134	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   A.wral 2508   [_csb 3124   U_ciun 3964   omcom 4681   -onto->wfo 5315   1oc1o 6553   ⊔ cdju 7200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  omiunct  13010