Theorem ctiunctal 11990

Description: Variation of ctiunct 11989 which allows x to be present in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctiunctal.b	|- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, h, x   B, h   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( x)   F( h)   G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
2		ctiunctal.b	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3		nfv 1509	. . . . . 6 |- F/ y G : om -onto-> ( B ⊔ 1o )
4		nfcsb1v 3040	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ G
5		nfcv 2282	. . . . . . 7 |- F/_ x om
6		nfcsb1v 3040	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		nfcv 2282	. . . . . . . 8 |- F/_ x 1o
8	6, 7	nfdju 6935	. . . . . . 7 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
9	4, 5, 8	nffo 5352	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
10		csbeq1a 3016	. . . . . . 7 |- ( x = y -> G = [_ y / x ]_ G )
11		eqidd 2141	. . . . . . 7 |- ( x = y -> om = om )
12		csbeq1a 3016	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13		djueq1 6933	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
15	10, 11, 14	foeq123d 5369	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
16	3, 9, 15	cbvral 2653	. . . . 5 |- ( A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
17	2, 16	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
18	17	r19.21bi 2523	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
19	1, 18	ctiunct 11989	. 2 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
20		nfcv 2282	. . . . 5 |- F/_ y B
21	20, 6, 12	cbviun 3858	. . . 4 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
22		djueq1 6933	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
23		foeq3 5351	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
25	24	exbii 1585	. 2 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
26	19, 25	sylibr 133	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   A.wral 2417   [_csb 3007   U_ciun 3821   omcom 4512   -onto->wfo 5129   1oc1o 6314   ⊔ cdju 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941  df-case 6977  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  omiunct  11993