Theorem ctiunctal 13332

Description: Variation of ctiunct 13331 which allows x to be present in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctiunctal.b	|- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, h, x   B, h   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( x)   F( h)   G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
2		ctiunctal.b	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3		nfv 1581	. . . . . 6 |- F/ y G : om -onto-> ( B ⊔ 1o )
4		nfcsb1v 3180	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ G
5		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ x om
6		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ x 1o
8	6, 7	nfdju 7382	. . . . . . 7 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
9	4, 5, 8	nffo 5614	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
10		csbeq1a 3156	. . . . . . 7 |- ( x = y -> G = [_ y / x ]_ G )
11		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( x = y -> om = om )
12		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13		djueq1 7380	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
15	10, 11, 14	foeq123d 5632	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
16	3, 9, 15	cbvral 2782	. . . . 5 |- ( A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
18	17	r19.21bi 2638	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
19	1, 18	ctiunct 13331	. 2 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
20		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ y B
21	20, 6, 12	cbviun 4049	. . . 4 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
22		djueq1 7380	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
23		foeq3 5613	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
25	24	exbii 1658	. 2 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
26	19, 25	sylibr 134	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   A.wral 2528   [_csb 3147   U_ciun 4012   omcom 4737   -onto->wfo 5375   1oc1o 6680   ⊔ cdju 7377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-dvds 12555

This theorem is used by:  omiunct  13335