Theorem ctiunctal 12445

Description: Variation of ctiunct 12444 which allows x to be present in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	|- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
ctiunctal.b	|- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	|- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, h, x   B, h   x, F

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( x)   F( h)   G( x, h)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
2		ctiunctal.b	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
3		nfv 1528	. . . . . 6 |- F/ y G : om -onto-> ( B ⊔ 1o )
4		nfcsb1v 3092	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ G
5		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ x om
6		nfcsb1v 3092	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x 1o
8	6, 7	nfdju 7044	. . . . . . 7 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
9	4, 5, 8	nffo 5439	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o )
10		csbeq1a 3068	. . . . . . 7 |- ( x = y -> G = [_ y / x ]_ G )
11		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( x = y -> om = om )
12		csbeq1a 3068	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
13		djueq1 7042	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B ⊔ 1o ) = ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
15	10, 11, 14	foeq123d 5456	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
16	3, 9, 15	cbvral 2701	. . . . 5 |- ( A. x e. A G : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
18	17	r19.21bi 2565	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ G : om -onto-> ( [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
19	1, 18	ctiunct 12444	. 2 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
20		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y B
21	20, 6, 12	cbviun 3925	. . . 4 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
22		djueq1 7042	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
23		foeq3 5438	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) = ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) ) )
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
25	24	exbii 1605	. 2 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( U_ y e. A [_ y / x ]_ B ⊔ 1o ) )
26	19, 25	sylibr 134	1 |- ( ph -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. A B ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   A.wral 2455   [_csb 3059   U_ciun 3888   omcom 4591   -onto->wfo 5216   1oc1o 6413   ⊔ cdju 7039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-dju 7040  df-inl 7049  df-inr 7050  df-case 7086  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  omiunct  12448