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Theorem cnmpt21 12470
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt21.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmpt21.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, J    x, y, z, L    ph, x, y, z    x, X, y, z    x, M, y, z    x, Y, y, z    z, K   
x, Z, y, z   
x, B, y    z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. )
2 simprl 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
3 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
y  e.  Y )
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6 txtopon 12441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
74, 5, 6syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
10 cnf2 12384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
117, 8, 9, 10syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
12 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpo 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
1411, 13sylibr 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
15 rsp2 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1716imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A  e.  Z )
1812ovmpt4g 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
192, 3, 17, 18syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
201, 19syl5eqr 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
)  =  A )
2120fveq2d 5425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A
) )
22 eqid 2139 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B )
23 cnmpt21.c . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2423eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  ( B  e.  U. M  <->  C  e.  U. M ) )
25 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
26 cntop2 12381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
28 toptopon2 12196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2927, 28sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
30 cnf2 12384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
318, 29, 25, 30syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M )
3222fmpt 5570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  <->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
3331, 32sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3433adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3524, 34, 17rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  C  e.  U. M )
3622, 23, 17, 35fvmptd3 5514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A )  =  C )
3721, 36eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  C )
38 opelxpi 4571 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
39 fvco3 5492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. ) ) )
4011, 38, 39syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( z  e.  Z  |->  B ) `  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >. )
) )
41 df-ov 5777 . . . . . . . 8  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  y
>. )
42 eqid 2139 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
4342ovmpt4g 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  C  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
442, 3, 35, 43syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
4541, 44syl5eqr 2186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >.
)  =  C )
4637, 40, 453eqtr4d 2182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
4746ralrimivva 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
48 nfv 1508 . . . . . 6  |-  F/ u A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
49 nfcv 2281 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
50 nfcv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( z  e.  Z  |->  B )
51 nfmpo1 5838 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
5250, 51nfco 4704 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
53 nfcv 2281 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x <. u ,  v >.
5452, 53nffv 5431 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )
55 nfmpo1 5838 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
5655, 53nffv 5431 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
)
5754, 56nfeq 2289 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
5849, 57nfralxy 2471 . . . . . 6  |-  F/ x A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
59 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
60 nfcv 2281 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( z  e.  Z  |->  B )
61 nfmpo2 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
6260, 61nfco 4704 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
63 nfcv 2281 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y <. x ,  v >.
6462, 63nffv 5431 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )
65 nfmpo2 5839 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
6665, 63nffv 5431 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >.
)
6764, 66nfeq 2289 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
68 opeq2 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  v >. )
6968fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >. )
)
7068fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  v
>. ) )
7169, 70eqeq12d 2154 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
) )
7259, 67, 71cbvral 2650 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
)
73 opeq1 3705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  <. x ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
7473fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
7573fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. u ,  v
>. ) )
7674, 75eqeq12d 2154 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
7776ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
7872, 77syl5bb 191 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
7948, 58, 78cbvral 2650 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8047, 79sylib 121 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
81 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
82 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
) )
8381, 82eqeq12d 2154 . . . . 5  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <-> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8483ralxp 4682 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8580, 84sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  w ) )
86 fco 5288 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M  /\  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( (
z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
8731, 11, 86syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
8887ffnd 5273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
8935ralrimivva 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M )
9042fmpo 6099 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
9189, 90sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
9291ffnd 5273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y ) )
93 eqfnfv 5518 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9488, 92, 93syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9585, 94mpbird 166 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) )
96 cnco 12400 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
979, 25, 96syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )
9895, 97eqeltrrd 2217 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   <.cop 3530   U.cuni 3736    |-> cmpt 3989    X. cxp 4537    o. ccom 4543    Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   Topctop 12174  TopOnctopon 12187    Cn ccn 12364    tX ctx 12431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12151  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-cn 12367  df-tx 12432
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  12471  divcnap  12734
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