Theorem cnmpt21 13085

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt21.b	|- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) )
cnmpt21.c	|- ( z = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, J   x, y, z, L   ph, x, y, z   x, X, y, z   x, M, y, z   x, Y, y, z   z, K   x, Z, y, z   x, B, y   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( z)   C( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. )
2		simprl 526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x e. X )
3		simprr 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
4		cnmpt21.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cnmpt21.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
6		txtopon 13056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		cnmpt21.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
9		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
10		cnf2 12999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpo 6180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
14	11, 13	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
15		rsp2 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
17	16	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> A e. Z )
18	12	ovmpt4g 5975	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. Z ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
20	1, 19	eqtr3id 2217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) = A )
21	20	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` A ) )
22		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Z |-> B ) = ( z e. Z |-> B )
23		cnmpt21.c	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> B = C )
24	23	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( B e. U. M <-> C e. U. M ) )
25		cnmpt21.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) )
26		cntop2 12996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) -> M e. Top )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. Top )
28		toptopon2 12811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
29	27, 28	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
30		cnf2 12999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) ) -> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
31	8, 29, 25, 30	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
32	22	fmpt 5646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. Z B e. U. M <-> ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M )
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. Z B e. U. M )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> A. z e. Z B e. U. M )
35	24, 34, 17	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> C e. U. M )
36	22, 23, 17, 35	fvmptd3 5589	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` A ) = C )
37	21, 36	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) = C )
38		opelxpi 4643	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
39		fvco3 5567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z /\ <. x , y >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) )
40	11, 38, 39	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( z e. Z |-> B ) ` ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. x , y >. ) ) )
41		df-ov 5856	. . . . . . . 8 |- ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
42		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> C ) = ( x e. X , y e. Y |-> C )
43	42	ovmpt4g 5975	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ C e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = C )
44	2, 3, 35, 43	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> C ) y ) = C )
45	41, 44	eqtr3id 2217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) = C )
46	37, 40, 45	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) )
47	46	ralrimivva 2552	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) )
48		nfv 1521	. . . . . 6 |- F/ u A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
49		nfcv 2312	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
50		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( z e. Z |-> B )
51		nfmpo1 5920	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
52	50, 51	nfco 4776	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
53		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 |- F/_ x <. u , v >.
54	52, 53	nffv 5506	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. )
55		nfmpo1 5920	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> C )
56	55, 53	nffv 5506	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
57	54, 56	nfeq 2320	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
58	49, 57	nfralxy 2508	. . . . . 6 |- F/ x A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. )
59		nfv 1521	. . . . . . . 8 |- F/ v ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. )
60		nfcv 2312	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ( z e. Z |-> B )
61		nfmpo2 5921	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
62	60, 61	nfco 4776	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
63		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y <. x , v >.
64	62, 63	nffv 5506	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. )
65		nfmpo2 5921	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> C )
66	65, 63	nffv 5506	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. )
67	64, 66	nfeq 2320	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. )
68		opeq2 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> <. x , y >. = <. x , v >. )
69	68	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) )
70	68	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) )
71	69, 70	eqeq12d 2185	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) ) )
72	59, 67, 71	cbvral 2692	. . . . . . 7 |- ( A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) )
73		opeq1 3765	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> <. x , v >. = <. u , v >. )
74	73	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) )
75	73	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
76	74, 75	eqeq12d 2185	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
77	76	ralbidv 2470	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , v >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
78	72, 77	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
79	48, 58, 78	cbvral 2692	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. x , y >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. x , y >. ) <-> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
80	47, 79	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
81		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) )
82		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
83	81, 82	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) <-> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) ) )
84	83	ralxp 4754	. . . 4 |- ( A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) <-> A. u e. X A. v e. Y ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` <. u , v >. ) )
85	80, 84	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) )
86		fco 5363	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. Z |-> B ) : Z --> U. M /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) : ( X X. Y ) --> U. M )
87	31, 11, 86	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) : ( X X. Y ) --> U. M )
88	87	ffnd 5348	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) Fn ( X X. Y ) )
89	35	ralrimivva 2552	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. U. M )
90	42	fmpo 6180	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> C ) : ( X X. Y ) --> U. M )
91	89, 90	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) : ( X X. Y ) --> U. M )
92	91	ffnd 5348	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) Fn ( X X. Y ) )
93		eqfnfv 5593	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> C ) Fn ( X X. Y ) ) -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) <-> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) <-> A. w e. ( X X. Y ) ( ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> C ) ` w ) ) )
95	85, 94	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> C ) )
96		cnco 13015	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( z e. Z |-> B ) e. ( L Cn M ) ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
97	9, 25, 96	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( x e. X , y e. Y |-> A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
98	95, 97	eqeltrrd 2248	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> C ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   <.cop 3586   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047

This theorem is referenced by:  cnmpt21f  13086  divcnap  13349