Theorem cbvral 2782

Description: Rule used to change bound variables, using implicit substitution. (Contributed by NM, 31-Jul-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
cbvral.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
cbvral.3	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvral	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cbvral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		cbvral.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		cbvral.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5		cbvral.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvralf 2777	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  Ⅎwnf 1513  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  cbvralv  2786  cbvralsv  2802  cbviin  4050  frind  4499  ralxpf  4928  eqfnfv2f  5813  ralrnmpt  5853  dff13f  5979  ofrfval2  6323  uchoice  6375  fmpox  6440  cbvixp  7002  mptelixpg  7021  xpf1o  7149  indstr  10010  fsum3  12180  fsum00  12255  mertenslem2  12329  fprodcl2lem  12398  fprodle  12433  ctiunctal  13391  cnmpt11  15521  cnmpt21  15529  bj-bdfindes  17192  bj-findes  17224