Theorem cbvral 2725

Description: Rule used to change bound variables, using implicit substitution. (Contributed by NM, 31-Jul-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
cbvral.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
cbvral.3	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvral	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		cbvral.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		cbvral.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5		cbvral.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvralf 2721	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  Ⅎwnf 1474  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  cbvralv  2729  cbvralsv  2745  cbviin  3954  frind  4387  ralxpf  4812  eqfnfv2f  5663  ralrnmpt  5704  dff13f  5817  ofrfval2  6152  uchoice  6195  fmpox  6258  cbvixp  6774  mptelixpg  6793  xpf1o  6905  indstr  9667  fsum3  11552  fsum00  11627  mertenslem2  11701  fprodcl2lem  11770  fprodle  11805  ctiunctal  12658  cnmpt11  14519  cnmpt21  14527  bj-bdfindes  15595  bj-findes  15627