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Theorem indstr 9238
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3879 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <  z  <->  y  <  1 ) )
21imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  1  ->  ps )
) )
32ralbidv 2396 . . 3  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
) )
4 breq2 3879 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
y  <  z  <->  y  <  w ) )
54imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
65ralbidv 2396 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
7 breq2 3879 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( w  +  1 ) ) )
87imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  ( w  +  1 )  ->  ps )
) )
98ralbidv 2396 . . 3  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
10 breq2 3879 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
1110imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  x  ->  ps )
) )
1211ralbidv 2396 . . 3  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
13 nnnlt1 8604 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
1413pm2.21d 589 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  <  1  ->  ps ) )
1514rgen 2444 . . 3  |-  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
16 1nn 8589 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 elex2 2657 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  E. u  u  e.  NN )
18 nfra1 2425 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
1918r19.3rm 3398 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) )
21 rsp 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
2221com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2322adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  w  ->  ps ) ) )
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
2524rgen 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
26 nfv 1476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
27 nfv 1476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
28 nfsbc1v 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
2927, 28nfim 1519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
30 breq2 3879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
3130imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  <  x  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
3231ralbidv 2396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
33 sbceq1a 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
3432, 33imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
3526, 29, 34cbvral 2608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
3625, 35mpbi 144 . . . . . . . . . . 11  |-  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
3736rspec 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
38 vex 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4038, 39sbcie 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
41 dfsbcq 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
4240, 41syl5bbr 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
4342biimprcd 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. w  /  x ]. ph  ->  ( y  =  w  ->  ps ) )
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4544adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  =  w  ->  ps ) ) )
4623, 45jcad 303 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  ->  ps )  /\  ( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
47 jaob 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  ->  ps )  /\  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4846, 47syl6ibr 161 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  \/  y  =  w )  ->  ps ) ) )
49 nnleltp1 8965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  y  <  ( w  + 
1 ) ) )
50 nnz 8925 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
51 nnz 8925 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
52 zleloe 8953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5350, 51, 52syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5449, 53bitr3d 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5554ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5655imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )
) )
5748, 56sylibrd 168 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  ->  ps ) ) )
5857ralimdva 2458 . . . 4  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
5920, 58syl5bi 151 . . 3  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 8594 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
6160, 24mpd 13 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 670    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   A.wral 2375   [.wsbc 2862   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   1c1 7501    + caddc 7503    < clt 7672    <_ cle 7673   NNcn 8578   ZZcz 8906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907
This theorem is referenced by:  indstr2  9253
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