Theorem indstr 9826

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr.2	|- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem indstr

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4092	. . . . 5 |- ( z = 1 -> ( y < z <-> y < 1 ) )
2	1	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = 1 -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < 1 -> ps ) ) )
3	2	ralbidv 2532	. . 3 |- ( z = 1 -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < 1 -> ps ) ) )
4		breq2 4092	. . . . 5 |- ( z = w -> ( y < z <-> y < w ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
6	5	ralbidv 2532	. . 3 |- ( z = w -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
7		breq2 4092	. . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( y < z <-> y < ( w + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
9	8	ralbidv 2532	. . 3 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
10		breq2 4092	. . . . 5 |- ( z = x -> ( y < z <-> y < x ) )
11	10	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < x -> ps ) ) )
12	11	ralbidv 2532	. . 3 |- ( z = x -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < x -> ps ) ) )
13		nnnlt1 9168	. . . . 5 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
14	13	pm2.21d 624	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( y < 1 -> ps ) )
15	14	rgen 2585	. . 3 |- A. y e. NN ( y < 1 -> ps )
16		1nn 9153	. . . . 5 |- 1 e. NN
17		elex2 2819	. . . . 5 |- ( 1 e. NN -> E. u u e. NN )
18		nfra1 2563	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. NN ( y < w -> ps )
19	18	r19.3rm 3583	. . . . 5 |- ( E. u u e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
20	16, 17, 19	mp2b 8	. . . 4 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) )
21		rsp 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y e. NN -> ( y < w -> ps ) ) )
22	21	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
24		indstr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
25	24	rgen 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
26		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
27		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x A. y e. NN ( y < w -> ps )
28		nfsbc1v 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [. w / x ]. ph
29	27, 28	nfim 1620	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
30		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( y < x -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
32	31	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
33		sbceq1a 3041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
34	32, 33	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
35	26, 29, 34	cbvral 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
36	25, 35	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 |- A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
37	36	rspec 2584	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
38		vex 2805	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
39		indstr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	38, 39	sbcie 3066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. y / x ]. ph <-> ps )
41		dfsbcq 3033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( [. y / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
42	40, 41	bitr3id 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / x ]. ph ) )
43	42	biimprcd 160	. . . . . . . . . 10 |- ( [. w / x ]. ph -> ( y = w -> ps ) )
44	37, 43	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
46	23, 45	jcad 307	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) ) )
47		jaob 717	. . . . . . 7 |- ( ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) <-> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) )
48	46, 47	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
49		nnleltp1 9538	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> y < ( w + 1 ) ) )
50		nnz 9497	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
51		nnz 9497	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
52		zleloe 9525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
53	50, 51, 52	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
54	49, 53	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
55	54	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
56	55	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y < ( w + 1 ) -> ps ) <-> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
57	48, 56	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
58	57	ralimdva 2599	. . . 4 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
59	20, 58	biimtrid 152	. . 3 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
60	3, 6, 9, 12, 15, 59	nnind 9158	. 2 |- ( x e. NN -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
61	60, 24	mpd 13	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   [.wsbc 3031   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  indstr2  9842