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Theorem indstr 9607
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4019 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <  z  <->  y  <  1 ) )
21imbi1d 231 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  1  ->  ps )
) )
32ralbidv 2487 . . 3  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
) )
4 breq2 4019 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
y  <  z  <->  y  <  w ) )
54imbi1d 231 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
65ralbidv 2487 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
7 breq2 4019 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( w  +  1 ) ) )
87imbi1d 231 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  ( w  +  1 )  ->  ps )
) )
98ralbidv 2487 . . 3  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
10 breq2 4019 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
1110imbi1d 231 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  x  ->  ps )
) )
1211ralbidv 2487 . . 3  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
13 nnnlt1 8959 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
1413pm2.21d 620 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  <  1  ->  ps ) )
1514rgen 2540 . . 3  |-  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
16 1nn 8944 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 elex2 2765 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  E. u  u  e.  NN )
18 nfra1 2518 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
1918r19.3rm 3523 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) )
21 rsp 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
2221com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2322adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  w  ->  ps ) ) )
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
2524rgen 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
26 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
27 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
28 nfsbc1v 2993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
2927, 28nfim 1582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
30 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
3130imbi1d 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  <  x  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
3231ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
33 sbceq1a 2984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
3432, 33imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
3526, 29, 34cbvral 2711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
3625, 35mpbi 145 . . . . . . . . . . 11  |-  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
3736rspec 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
38 vex 2752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4038, 39sbcie 3009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
41 dfsbcq 2976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
4240, 41bitr3id 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
4342biimprcd 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. w  /  x ]. ph  ->  ( y  =  w  ->  ps ) )
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4544adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  =  w  ->  ps ) ) )
4623, 45jcad 307 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  ->  ps )  /\  ( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
47 jaob 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  ->  ps )  /\  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4846, 47imbitrrdi 162 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  \/  y  =  w )  ->  ps ) ) )
49 nnleltp1 9326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  y  <  ( w  + 
1 ) ) )
50 nnz 9286 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
51 nnz 9286 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
52 zleloe 9314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5350, 51, 52syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5449, 53bitr3d 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5554ancoms 268 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5655imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )
) )
5748, 56sylibrd 169 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  ->  ps ) ) )
5857ralimdva 2554 . . . 4  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
5920, 58biimtrid 152 . . 3  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 8949 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
6160, 24mpd 13 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   A.wral 2465   [.wsbc 2974   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   1c1 7826    + caddc 7828    < clt 8006    <_ cle 8007   NNcn 8933   ZZcz 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268
This theorem is referenced by:  indstr2  9623
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