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Theorem indstr 9539
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <  z  <->  y  <  1 ) )
21imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  1  ->  ps )
) )
32ralbidv 2470 . . 3  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
) )
4 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
y  <  z  <->  y  <  w ) )
54imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
65ralbidv 2470 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
7 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( w  +  1 ) ) )
87imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  ( w  +  1 )  ->  ps )
) )
98ralbidv 2470 . . 3  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
10 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
1110imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  x  ->  ps )
) )
1211ralbidv 2470 . . 3  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
13 nnnlt1 8891 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
1413pm2.21d 614 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  <  1  ->  ps ) )
1514rgen 2523 . . 3  |-  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
16 1nn 8876 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 elex2 2746 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  E. u  u  e.  NN )
18 nfra1 2501 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
1918r19.3rm 3502 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) )
21 rsp 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
2221com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  w  ->  ps ) ) )
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
2524rgen 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
26 nfv 1521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
27 nfv 1521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
28 nfsbc1v 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
2927, 28nfim 1565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
30 breq2 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
3130imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  <  x  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
3231ralbidv 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
33 sbceq1a 2964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
3432, 33imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
3526, 29, 34cbvral 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
3625, 35mpbi 144 . . . . . . . . . . 11  |-  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
3736rspec 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
38 vex 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4038, 39sbcie 2989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
41 dfsbcq 2957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
4240, 41bitr3id 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
4342biimprcd 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. w  /  x ]. ph  ->  ( y  =  w  ->  ps ) )
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4544adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  =  w  ->  ps ) ) )
4623, 45jcad 305 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  ->  ps )  /\  ( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
47 jaob 705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  ->  ps )  /\  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4846, 47syl6ibr 161 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  \/  y  =  w )  ->  ps ) ) )
49 nnleltp1 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  y  <  ( w  + 
1 ) ) )
50 nnz 9218 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
51 nnz 9218 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
52 zleloe 9246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5350, 51, 52syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5449, 53bitr3d 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5554ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5655imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )
) )
5748, 56sylibrd 168 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  ->  ps ) ) )
5857ralimdva 2537 . . . 4  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
5920, 58syl5bi 151 . . 3  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 8881 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
6160, 24mpd 13 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   [.wsbc 2955   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   1c1 7762    + caddc 7764    < clt 7941    <_ cle 7942   NNcn 8865   ZZcz 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200
This theorem is referenced by:  indstr2  9555
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