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Theorem indstr 9356
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3903 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <  z  <->  y  <  1 ) )
21imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  1  ->  ps )
) )
32ralbidv 2414 . . 3  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
) )
4 breq2 3903 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
y  <  z  <->  y  <  w ) )
54imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
65ralbidv 2414 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
7 breq2 3903 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( w  +  1 ) ) )
87imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  ( w  +  1 )  ->  ps )
) )
98ralbidv 2414 . . 3  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
10 breq2 3903 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
1110imbi1d 230 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  x  ->  ps )
) )
1211ralbidv 2414 . . 3  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
13 nnnlt1 8714 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
1413pm2.21d 593 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  <  1  ->  ps ) )
1514rgen 2462 . . 3  |-  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
16 1nn 8699 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 elex2 2676 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  E. u  u  e.  NN )
18 nfra1 2443 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
1918r19.3rm 3421 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) )
21 rsp 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
2221com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  w  ->  ps ) ) )
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
2524rgen 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
26 nfv 1493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
27 nfv 1493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
28 nfsbc1v 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
2927, 28nfim 1536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
30 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
3130imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  <  x  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
3231ralbidv 2414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
33 sbceq1a 2891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
3432, 33imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
3526, 29, 34cbvral 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
3625, 35mpbi 144 . . . . . . . . . . 11  |-  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
3736rspec 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
38 vex 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4038, 39sbcie 2915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
41 dfsbcq 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
4240, 41syl5bbr 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
4342biimprcd 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. w  /  x ]. ph  ->  ( y  =  w  ->  ps ) )
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4544adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  =  w  ->  ps ) ) )
4623, 45jcad 305 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  ->  ps )  /\  ( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
47 jaob 684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  ->  ps )  /\  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4846, 47syl6ibr 161 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  \/  y  =  w )  ->  ps ) ) )
49 nnleltp1 9081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  y  <  ( w  + 
1 ) ) )
50 nnz 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
51 nnz 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
52 zleloe 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5350, 51, 52syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5449, 53bitr3d 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5554ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5655imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )
) )
5748, 56sylibrd 168 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  ->  ps ) ) )
5857ralimdva 2476 . . . 4  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
5920, 58syl5bi 151 . . 3  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 8704 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
6160, 24mpd 13 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   [.wsbc 2882   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   NNcn 8688   ZZcz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  indstr2  9371
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