Theorem indstr 9696

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr.2	|- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem indstr

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4047	. . . . 5 |- ( z = 1 -> ( y < z <-> y < 1 ) )
2	1	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = 1 -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < 1 -> ps ) ) )
3	2	ralbidv 2505	. . 3 |- ( z = 1 -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < 1 -> ps ) ) )
4		breq2 4047	. . . . 5 |- ( z = w -> ( y < z <-> y < w ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
6	5	ralbidv 2505	. . 3 |- ( z = w -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
7		breq2 4047	. . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( y < z <-> y < ( w + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
9	8	ralbidv 2505	. . 3 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
10		breq2 4047	. . . . 5 |- ( z = x -> ( y < z <-> y < x ) )
11	10	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < x -> ps ) ) )
12	11	ralbidv 2505	. . 3 |- ( z = x -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < x -> ps ) ) )
13		nnnlt1 9044	. . . . 5 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
14	13	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( y < 1 -> ps ) )
15	14	rgen 2558	. . 3 |- A. y e. NN ( y < 1 -> ps )
16		1nn 9029	. . . . 5 |- 1 e. NN
17		elex2 2787	. . . . 5 |- ( 1 e. NN -> E. u u e. NN )
18		nfra1 2536	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. NN ( y < w -> ps )
19	18	r19.3rm 3548	. . . . 5 |- ( E. u u e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
20	16, 17, 19	mp2b 8	. . . 4 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) )
21		rsp 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y e. NN -> ( y < w -> ps ) ) )
22	21	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
24		indstr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
25	24	rgen 2558	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
26		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
27		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x A. y e. NN ( y < w -> ps )
28		nfsbc1v 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [. w / x ]. ph
29	27, 28	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
30		breq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( y < x -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
32	31	ralbidv 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
33		sbceq1a 3007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
34	32, 33	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
35	26, 29, 34	cbvral 2733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
36	25, 35	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 |- A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
37	36	rspec 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
38		vex 2774	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
39		indstr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	38, 39	sbcie 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. y / x ]. ph <-> ps )
41		dfsbcq 2999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( [. y / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
42	40, 41	bitr3id 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / x ]. ph ) )
43	42	biimprcd 160	. . . . . . . . . 10 |- ( [. w / x ]. ph -> ( y = w -> ps ) )
44	37, 43	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
46	23, 45	jcad 307	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) ) )
47		jaob 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) <-> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) )
48	46, 47	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
49		nnleltp1 9414	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> y < ( w + 1 ) ) )
50		nnz 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
51		nnz 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
52		zleloe 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
53	50, 51, 52	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
54	49, 53	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
55	54	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
56	55	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y < ( w + 1 ) -> ps ) <-> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
57	48, 56	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
58	57	ralimdva 2572	. . . 4 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
59	20, 58	biimtrid 152	. . 3 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
60	3, 6, 9, 12, 15, 59	nnind 9034	. 2 |- ( x e. NN -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
61	60, 24	mpd 13	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   [.wsbc 2997   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   1c1 7908   + caddc 7910   < clt 8089   <_ cle 8090   NNcn 9018   ZZcz 9354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355

This theorem is referenced by:  indstr2  9712