ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3 Unicode version

Theorem fsum3 10779
Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
fsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fsum.3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsum.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
Assertion
Ref Expression
fsum3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ) `  M ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k    k, F, n    k, G, n   
k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( n)

Proof of Theorem fsum3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsum.1 . . 3  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
2 fsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fsum.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
4 fsum.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 fsum.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
61, 2, 3, 4, 5fisum 10778 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
)
7 1zzd 8777 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 elnnuz 9055 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
98biimpri 131 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
10 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  ( G `  n )  =  ( G `  x ) )
1110eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
( G `  n
)  e.  CC  <->  ( G `  x )  e.  CC ) )
121, 2, 3, 4, 5fsumgcl 10777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  e.  CC )
1312ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  A. n  e.  ( 1 ... M
) ( G `  n )  e.  CC )
14 1zzd 8777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  1  e.  ZZ )
152ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  M  e.  NN )
1615nnzd 8867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
17 eluzelz 9028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
1817ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  e.  ZZ )
1914, 16, 183jca 1123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
20 eluzle 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
2120ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  1  <_  x )
22 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  <_  M )
2321, 22jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  M ) )
24 elfz2 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  x  /\  x  <_  M ) ) )
2519, 23, 24sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  e.  ( 1 ... M
) )
2611, 13, 25rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
27 0cnd 7481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  M )  ->  0  e.  CC )
282nnzd 8867 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
29 zdcle 8823 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  M )
3017, 28, 29syl2anr 284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  M )
3126, 27, 30ifcldadc 3420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  M , 
( G `  x
) ,  0 )  e.  CC )
32 breq1 3848 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
n  <_  M  <->  x  <_  M ) )
3332, 10ifbieq1d 3413 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 )  =  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 ) )
34 eqid 2088 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) )
3533, 34fvmptg 5380 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 ) )
369, 31, 35syl2an2 561 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  M , 
( G `  x
) ,  0 ) )
3736, 31eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  x
)  e.  CC )
387, 37iseqseq3 9902 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ) )
3938fveq1d 5307 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ) `  M
) )
406, 39eqtrd 2120 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ) `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424    seqcseq4 9851    seqcseq 9852   sum_csu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  10792  fsummulc2  10842
  Copyright terms: Public domain W3C validator