Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-sumdc 11155 |
. 2
![sum_ sum_](csigma.gif)
![( (](lp.gif) ![iota iota](riota.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![m m](_m.gif)
![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![m m](_m.gif) DECID
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![seq seq](_seq.gif) ![1 1](1.gif) ![(
(](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![m m](_m.gif) ![[_ [_](_ulbrack.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![k k](_k.gif) ![]_ ]_](_urbrack.gif) ![B B](_cb.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | | nnuz 9385 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | 1zzd 9105 |
. . . . 5
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4 | | elnnuz 9386 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
5 | 2 | eqimss2i 3159 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![1
1](1.gif) ![NN NN](bbn.gif) |
6 | 5 | sseli 3098 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![1 1](1.gif)
![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | 6 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | 8 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | fsum.1 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | | fsum.2 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | | fsum.3 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | | fsum.4 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![A A](_ca.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | fsum.5 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 10, 11, 12, 13, 14 | fsumgcl 11187 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | 15 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | | 1zzd 9105 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | 11 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | 18 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | | eluzelz 9359 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![1 1](1.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | 20 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 17, 19, 21 | 3jca 1162 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | | eluzle 9362 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![1 1](1.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | 23 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 24, 25 | jca 304 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | | elfz2 9828 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 22, 26, 27 | sylanbrc 414 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![... ...](ldots.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 9, 16, 28 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | | 0cnd 7783 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![M M](_cm.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | 7 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 18 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
33 | | zdcle 9151 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) DECID ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | 31, 32, 33 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif)
DECID
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 29, 30, 34 | ifcldadc 3506 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![(
(](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![)
)](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | | breq1 3940 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 36, 8 | ifbieq1d 3499 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![(
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38 | | eqid 2140 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![(
(](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![)
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![M M](_cm.gif) ![(
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39 | 37, 38 | fvmptg 5505 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
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40 | 7, 35, 39 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 4, 41 | sylan2b 285 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN NN](bbn.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
43 | 2, 3, 42 | serf 10278 |
. . . 4
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44 | 43, 11 | ffvelrnd 5564 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
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)](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | 44 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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. . . . . . . . . . 11
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91 | 64, 90 | sylib 121 |
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92 | 91 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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93 | | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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94 | | f1of 5375 |
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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124 | 123, 114 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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169 | 168, 162 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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170 | | addcl 7769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . 13
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173 | 12, 172 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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176 | 175 | csbeq1d 3014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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177 | | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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178 | | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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_V](rmcv.gif) |
179 | 177, 178 | fvex 5449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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180 | 175, 179 | eqeltrrdi 2232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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181 | 10 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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182 | 180, 181 | csbied 3051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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183 | 176, 182 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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186 | 185 | seqeq3d 10257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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188 | 187 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . 13
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190 | 189 | spcegv 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
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193 | | f1oeq2 5365 |
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194 | 192, 193 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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195 | | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . 11
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208 | | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . 12
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209 | 208 | 3anbi3d 1297 |
. . . . . . . . . . 11
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210 | 209 | rexbidv 2439 |
. . . . . . . . . 10
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211 | | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . . . 13
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212 | 211 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . . . 12
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213 | 212 | exbidv 1798 |
. . . . . . . . . . 11
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214 | 213 | rexbidv 2439 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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216 | 215 | moi2 2869 |
. . . . . . . 8
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217 | 45, 92, 93, 207, 216 | syl22anc 1218 |
. . . . . . 7
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218 | 217 | ex 114 |
. . . . . 6
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219 | 206, 215 | syl5ibrcom 156 |
. . . . . 6
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220 | 218, 219 | impbid 128 |
. . . . 5
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221 | 220 | adantr 274 |
. . . 4
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222 | 221 | iota5 5116 |
. . 3
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1
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