Theorem fsum3 11350

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1	|- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
fsum.2	|- ( ph -> M e. NN )
fsum.3	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsum.5	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )

Assertion

Ref	Expression
fsum3	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k   k, F, n   k, G, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)

Proof of Theorem fsum3

Dummy variables f i j m u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sumdc 11317	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
2		nnuz 9522	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9239	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		elnnuz 9523	. . . . . 6 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	2	eqimss2i 3204	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
6	5	sseli 3143	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
7	6	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
8		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = x -> ( G ` n ) = ( G ` x ) )
9	8	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` x ) e. CC ) )
10		fsum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
11		fsum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
12		fsum.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
13		fsum.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14		fsum.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )
15	10, 11, 12, 13, 14	fsumgcl 11349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
16	15	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
17		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 e. ZZ )
18	11	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
19	18	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> M e. ZZ )
20		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
21	20	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ZZ )
22	17, 19, 21	3jca 1172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
23		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
24	23	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 <_ x )
25		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x <_ M )
26	24, 25	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ M ) )
27		elfz2 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ M ) ) )
28	22, 26, 27	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ( 1 ... M ) )
29	9, 16, 28	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( G ` x ) e. CC )
30		0cnd 7913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ M ) -> 0 e. CC )
31	7	nnzd 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. ZZ )
32	18	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> M e. ZZ )
33		zdcle 9288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID x <_ M )
34	31, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ M )
35	29, 30, 34	ifcldadc 3555	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC )
36		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( n <_ M <-> x <_ M ) )
37	36, 8	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
38		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) )
39	37, 38	fvmptg 5572	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
40	7, 35, 39	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
41	40, 35	eqeltrd 2247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
42	4, 41	sylan2b 285	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
43	2, 3, 42	serf 10430	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) : NN --> CC )
44	43, 11	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
46		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( n e. A <-> j e. A ) )
47		csbeq1 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> [_ n / k ]_ B = [_ j / k ]_ B )
48	46, 47	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
49	48	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
50	13	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
51		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
52	51	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
53		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
54	53	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
55	52, 54	rspc 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
56	50, 55	mpan9 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
57		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
58		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
59	58	csbeq1d 3056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B )
60		csbco 3059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B
61	59, 60	eqtr4di 2221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B )
62	57, 61	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( i e. NN |-> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
64	49, 56, 63, 63	summodc 11346	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
65		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = j -> ( u e. A <-> j e. A ) )
66	65	dcbid 833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = j -> (DECID u e. A <-> DECID j e. A ) )
67	66	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
68	67	3anbi2i 1186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
69	68	rexbii 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
70		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> 1 e. ZZ )
71		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
72	70, 71	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN -> ( 1 ... m ) e. Fin )
73		fihasheqf1oi 10722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
74	72, 73	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
75		nnnn0 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN0 )
77		hashfz1 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
79	74, 78	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) = m )
80	79	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
81	80	ifbid 3547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
82	81	mpteq2dv 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
83	82	seqeq3d 10409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
84	83	fveq1d 5498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
85	84	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
86	85	pm5.32da 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
87	86	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
88	87	rexbiia 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
89	69, 88	orbi12i 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
90	89	mobii 2056	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
91	64, 90	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
92	91	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
93		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
94		f1of 5442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> F : ( 1 ... M ) --> A )
95	12, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> A )
96	3, 18	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
97		fex 5725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> A /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> F e. _V )
98	95, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. _V )
99	11, 2	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	14	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C )
101		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( G ` n ) = C
102		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ k / n ]_ C
103	102	nfeq2 2324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C
104		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
105		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> C = [_ k / n ]_ C )
106	104, 105	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) = C <-> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C ) )
107	101, 103, 106	cbvral 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C <-> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
108	100, 107	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
109	108	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
110		elfznn 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
111	110	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
112		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k <_ M )
113	112	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k <_ M )
114	113	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) = ( G ` k ) )
115	104	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` k ) e. CC ) )
116	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
117		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ( 1 ... M ) )
118	115, 116, 117	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
119	114, 118	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC )
120		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( n <_ M <-> k <_ M ) )
121	120, 104	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
122	121, 38	fvmptg 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
123	111, 119, 122	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
124	123, 114	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
125	113	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) = [_ k / n ]_ C )
126	95	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( F ` n ) e. A )
127	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
128	126, 127	csbied 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
129	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
130		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
131	130	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC
132		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
133	132	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
134	131, 133	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
135	126, 129, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC )
136	128, 135	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> C e. CC )
137	136	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
138		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k C e. CC
139	102	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ n [_ k / n ]_ C e. CC
140	105	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( C e. CC <-> [_ k / n ]_ C e. CC ) )
141	138, 139, 140	cbvral 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC <-> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
142	137, 141	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
143	142	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> [_ k / n ]_ C e. CC )
144	125, 143	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC )
145		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n k
146		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n k <_ M
147		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n 0
148	146, 102, 147	nfif 3554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 )
149	120, 105	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
150		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) )
151	145, 148, 149, 150	fvmptf 5588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
152	111, 144, 151	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
153	152, 125	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = [_ k / n ]_ C )
154	109, 124, 153	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) )
155	137	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
156		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n [_ x / n ]_ C
157	156	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n [_ x / n ]_ C e. CC
158		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = x -> C = [_ x / n ]_ C )
159	158	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = x -> ( C e. CC <-> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
160	157, 159	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC -> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
161	28, 155, 160	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> [_ x / n ]_ C e. CC )
162	161, 30, 34	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC )
163		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n x
164		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n x <_ M
165	164, 156, 147	nfif 3554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 )
166	36, 158	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = x -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
167	163, 165, 166, 150	fvmptf 5588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
168	7, 162, 167	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
169	168, 162	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) e. CC )
170		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
171	170	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
172	99, 154, 41, 169, 171	seq3fveq 10427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
173	12, 172	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
174		f1oeq1 5431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
175		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
176	175	csbeq1d 3056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
177		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- f e. _V
178		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- n e. _V
179	177, 178	fvex 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` n ) e. _V
180	175, 179	eqeltrrdi 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( F ` n ) e. _V )
181	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f = F /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
182	180, 181	csbied 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
183	176, 182	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = C )
184	183	ifeq1d 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = F -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , C , 0 ) )
185	184	mpteq2dv 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = F -> ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) )
186	185	seqeq3d 10409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = F -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) )
187	186	fveq1d 5498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
188	187	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
189	174, 188	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) <-> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
190	189	spcegv 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. _V -> ( ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
191	98, 173, 190	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
192		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) )
193		f1oeq2 5432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
194	192, 193	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
195		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = M -> ( n <_ m <-> n <_ M ) )
196	195	ifbid 3547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = M -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
197	196	mpteq2dv 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = M -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
198	197	seqeq3d 10409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
199		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> m = M )
200	198, 199	fveq12d 5503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) )
201	200	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
202	194, 201	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
203	202	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
204	203	rspcev 2834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
205	11, 191, 204	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
206	205	olcd 729	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
207	206	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
208		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
209	208	3anbi3d 1313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
210	209	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
211		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
212	211	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
213	212	exbidv 1818	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
214	213	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
215	210, 214	orbi12d 788	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
216	215	moi2 2911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC /\ E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
217	45, 92, 93, 207, 216	syl22anc 1234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
218	217	ex 114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
219	206, 215	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
220	218, 219	impbid 128	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
221	220	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
222	221	iota5 5180	. . 3 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
223	44, 222	mpdan 419	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
224	1, 223	eqtrid 2215	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   [_csb 3049   C_ wss 3121   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   iotacio 5158   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  isumz  11352  fsumf1o  11353  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411