Theorem fsum3 11394

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1	|- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
fsum.2	|- ( ph -> M e. NN )
fsum.3	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsum.5	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )

Assertion

Ref	Expression
fsum3	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k   k, F, n   k, G, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)

Proof of Theorem fsum3

Dummy variables f i j m u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sumdc 11361	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
2		nnuz 9562	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9279	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		elnnuz 9563	. . . . . 6 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	2	eqimss2i 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
6	5	sseli 3151	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
8		fveq2 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = x -> ( G ` n ) = ( G ` x ) )
9	8	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` x ) e. CC ) )
10		fsum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
11		fsum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
12		fsum.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
13		fsum.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14		fsum.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )
15	10, 11, 12, 13, 14	fsumgcl 11393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
17		1zzd 9279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 e. ZZ )
18	11	nnzd 9373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> M e. ZZ )
20		eluzelz 9536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ZZ )
22	17, 19, 21	3jca 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
23		eluzle 9539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 <_ x )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x <_ M )
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ M ) )
27		elfz2 10014	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ M ) ) )
28	22, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ( 1 ... M ) )
29	9, 16, 28	rspcdva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( G ` x ) e. CC )
30		0cnd 7949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ M ) -> 0 e. CC )
31	7	nnzd 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. ZZ )
32	18	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> M e. ZZ )
33		zdcle 9328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID x <_ M )
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ M )
35	29, 30, 34	ifcldadc 3563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC )
36		breq1 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( n <_ M <-> x <_ M ) )
37	36, 8	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
38		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) )
39	37, 38	fvmptg 5592	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
40	7, 35, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
41	40, 35	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
42	4, 41	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
43	2, 3, 42	serf 10473	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) : NN --> CC )
44	43, 11	ffvelcdmd 5652	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
46		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( n e. A <-> j e. A ) )
47		csbeq1 3060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> [_ n / k ]_ B = [_ j / k ]_ B )
48	46, 47	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
49	48	cbvmptv 4099	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
50	13	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
51		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
52	51	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
53		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
54	53	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
55	52, 54	rspc 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
56	50, 55	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
57		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
58		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
59	58	csbeq1d 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B )
60		csbco 3067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B
61	59, 60	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B )
62	57, 61	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4099	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( i e. NN |-> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
64	49, 56, 63, 63	summodc 11390	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
65		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = j -> ( u e. A <-> j e. A ) )
66	65	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = j -> (DECID u e. A <-> DECID j e. A ) )
67	66	cbvralv 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
68	67	3anbi2i 1191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
69	68	rexbii 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
70		1zzd 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> 1 e. ZZ )
71		nnz 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
72	70, 71	fzfigd 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN -> ( 1 ... m ) e. Fin )
73		fihasheqf1oi 10766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
74	72, 73	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
75		nnnn0 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN0 )
77		hashfz1 10762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
79	74, 78	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) = m )
80	79	breq2d 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
81	80	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
82	81	mpteq2dv 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
83	82	seqeq3d 10452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
84	83	fveq1d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
85	84	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
86	85	pm5.32da 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
87	86	exbidv 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
88	87	rexbiia 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
89	69, 88	orbi12i 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
90	89	mobii 2063	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
91	64, 90	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
93		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
94		f1of 5461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> F : ( 1 ... M ) --> A )
95	12, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> A )
96	3, 18	fzfigd 10430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
97		fex 5745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> A /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> F e. _V )
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. _V )
99	11, 2	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	14	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C )
101		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( G ` n ) = C
102		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ k / n ]_ C
103	102	nfeq2 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C
104		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
105		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> C = [_ k / n ]_ C )
106	104, 105	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) = C <-> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C ) )
107	101, 103, 106	cbvral 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C <-> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
108	100, 107	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
109	108	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
110		elfznn 10053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
111	110	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
112		elfzle2 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k <_ M )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k <_ M )
114	113	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) = ( G ` k ) )
115	104	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` k ) e. CC ) )
116	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
117		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ( 1 ... M ) )
118	115, 116, 117	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
119	114, 118	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC )
120		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( n <_ M <-> k <_ M ) )
121	120, 104	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
122	121, 38	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
123	111, 119, 122	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
124	123, 114	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
125	113	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) = [_ k / n ]_ C )
126	95	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( F ` n ) e. A )
127	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
128	126, 127	csbied 3103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
129	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
130		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
131	130	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC
132		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
133	132	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
134	131, 133	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
135	126, 129, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC )
136	128, 135	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> C e. CC )
137	136	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
138		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k C e. CC
139	102	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ n [_ k / n ]_ C e. CC
140	105	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( C e. CC <-> [_ k / n ]_ C e. CC ) )
141	138, 139, 140	cbvral 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC <-> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
142	137, 141	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
143	142	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> [_ k / n ]_ C e. CC )
144	125, 143	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC )
145		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n k
146		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n k <_ M
147		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n 0
148	146, 102, 147	nfif 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 )
149	120, 105	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
150		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) )
151	145, 148, 149, 150	fvmptf 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
152	111, 144, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
153	152, 125	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = [_ k / n ]_ C )
154	109, 124, 153	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) )
155	137	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
156		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n [_ x / n ]_ C
157	156	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n [_ x / n ]_ C e. CC
158		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = x -> C = [_ x / n ]_ C )
159	158	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = x -> ( C e. CC <-> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
160	157, 159	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC -> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
161	28, 155, 160	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> [_ x / n ]_ C e. CC )
162	161, 30, 34	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC )
163		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n x
164		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n x <_ M
165	164, 156, 147	nfif 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 )
166	36, 158	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = x -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
167	163, 165, 166, 150	fvmptf 5608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
168	7, 162, 167	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
169	168, 162	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) e. CC )
170		addcl 7935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
171	170	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
172	99, 154, 41, 169, 171	seq3fveq 10470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
173	12, 172	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
174		f1oeq1 5449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
175		fveq1 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
176	175	csbeq1d 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
177		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- f e. _V
178		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- n e. _V
179	177, 178	fvex 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` n ) e. _V
180	175, 179	eqeltrrdi 2269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( F ` n ) e. _V )
181	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f = F /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
182	180, 181	csbied 3103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
183	176, 182	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = C )
184	183	ifeq1d 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = F -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , C , 0 ) )
185	184	mpteq2dv 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = F -> ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) )
186	185	seqeq3d 10452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = F -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) )
187	186	fveq1d 5517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
188	187	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
189	174, 188	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) <-> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
190	189	spcegv 2825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. _V -> ( ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
191	98, 173, 190	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
192		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) )
193		f1oeq2 5450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
194	192, 193	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
195		breq2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = M -> ( n <_ m <-> n <_ M ) )
196	195	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = M -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
197	196	mpteq2dv 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = M -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
198	197	seqeq3d 10452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
199		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> m = M )
200	198, 199	fveq12d 5522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) )
201	200	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
202	194, 201	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
203	202	exbidv 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
204	203	rspcev 2841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
205	11, 191, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
206	205	olcd 734	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
207	206	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
208		breq2 4007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
209	208	3anbi3d 1318	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
210	209	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
211		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
212	211	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
213	212	exbidv 1825	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
214	213	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
215	210, 214	orbi12d 793	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
216	215	moi2 2918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC /\ E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
217	45, 92, 93, 207, 216	syl22anc 1239	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
218	217	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
219	206, 215	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
220	218, 219	impbid 129	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
221	220	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
222	221	iota5 5198	. . 3 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
223	44, 222	mpdan 421	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
224	1, 223	eqtrid 2222	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   [_csb 3057   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   iotacio 5176   -->wf 5212   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   <_ cle 7992   NNcn 8918   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007   seqcseq 10444  ♯chash 10754   ~~> cli 11285   sum_csu 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361

This theorem is referenced by:  isumz  11396  fsumf1o  11397  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  sumsnf  11416  fsummulc2  11455