Theorem fsum3 11569

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1	|- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
fsum.2	|- ( ph -> M e. NN )
fsum.3	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsum.5	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )

Assertion

Ref	Expression
fsum3	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k   k, F, n   k, G, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)

Proof of Theorem fsum3

Dummy variables f i j m u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sumdc 11536	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
2		nnuz 9654	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9370	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		elnnuz 9655	. . . . . 6 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	2	eqimss2i 3241	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
6	5	sseli 3180	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
8		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = x -> ( G ` n ) = ( G ` x ) )
9	8	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` x ) e. CC ) )
10		fsum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
11		fsum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
12		fsum.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
13		fsum.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14		fsum.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )
15	10, 11, 12, 13, 14	fsumgcl 11568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
17		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 e. ZZ )
18	11	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> M e. ZZ )
20		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ZZ )
22	17, 19, 21	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
23		eluzle 9630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 <_ x )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x <_ M )
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ M ) )
27		elfz2 10107	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ M ) ) )
28	22, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ( 1 ... M ) )
29	9, 16, 28	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( G ` x ) e. CC )
30		0cnd 8036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ M ) -> 0 e. CC )
31	7	nnzd 9464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. ZZ )
32	18	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> M e. ZZ )
33		zdcle 9419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID x <_ M )
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ M )
35	29, 30, 34	ifcldadc 3591	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC )
36		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( n <_ M <-> x <_ M ) )
37	36, 8	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
38		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) )
39	37, 38	fvmptg 5640	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
40	7, 35, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
41	40, 35	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
42	4, 41	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
43	2, 3, 42	serf 10592	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) : NN --> CC )
44	43, 11	ffvelcdmd 5701	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC )
46		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( n e. A <-> j e. A ) )
47		csbeq1 3087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> [_ n / k ]_ B = [_ j / k ]_ B )
48	46, 47	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
49	48	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
50	13	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
51		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
52	51	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
53		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
54	53	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
55	52, 54	rspc 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
56	50, 55	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
57		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> i <_ (♯ ` A ) ) )
58		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
59	58	csbeq1d 3091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B )
60		csbco 3094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B
61	59, 60	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B )
62	57, 61	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( i e. NN |-> if ( i <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B , 0 ) )
64	49, 56, 63, 63	summodc 11565	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
65		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = j -> ( u e. A <-> j e. A ) )
66	65	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = j -> (DECID u e. A <-> DECID j e. A ) )
67	66	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
68	67	3anbi2i 1193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
69	68	rexbii 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
70		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> 1 e. ZZ )
71		nnz 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
72	70, 71	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN -> ( 1 ... m ) e. Fin )
73		fihasheqf1oi 10896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
74	72, 73	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
75		nnnn0 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN0 )
77		hashfz1 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
79	74, 78	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) = m )
80	79	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
81	80	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
82	81	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
83	82	seqeq3d 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
84	83	fveq1d 5563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
85	84	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
86	85	pm5.32da 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
87	86	exbidv 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
88	87	rexbiia 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
89	69, 88	orbi12i 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
90	89	mobii 2082	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
91	64, 90	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
93		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
94		f1of 5507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> F : ( 1 ... M ) --> A )
95	12, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> A )
96	3, 18	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
97		fex 5794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> A /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> F e. _V )
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. _V )
99	11, 2	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	14	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C )
101		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( G ` n ) = C
102		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ k / n ]_ C
103	102	nfeq2 2351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C
104		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
105		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> C = [_ k / n ]_ C )
106	104, 105	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) = C <-> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C ) )
107	101, 103, 106	cbvral 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = C <-> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
108	100, 107	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
109	108	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) = [_ k / n ]_ C )
110		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
111	110	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
112		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k <_ M )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k <_ M )
114	113	iftrued 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) = ( G ` k ) )
115	104	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` k ) e. CC ) )
116	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
117		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ( 1 ... M ) )
118	115, 116, 117	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
119	114, 118	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC )
120		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( n <_ M <-> k <_ M ) )
121	120, 104	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
122	121, 38	fvmptg 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
123	111, 119, 122	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , ( G ` k ) , 0 ) )
124	123, 114	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
125	113	iftrued 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) = [_ k / n ]_ C )
126	95	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( F ` n ) e. A )
127	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
128	126, 127	csbied 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
129	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. A B e. CC )
130		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
131	130	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC
132		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
133	132	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
134	131, 133	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC ) )
135	126, 129, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. CC )
136	128, 135	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> C e. CC )
137	136	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
138		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k C e. CC
139	102	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ n [_ k / n ]_ C e. CC
140	105	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( C e. CC <-> [_ k / n ]_ C e. CC ) )
141	138, 139, 140	cbvral 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC <-> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
142	137, 141	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) [_ k / n ]_ C e. CC )
143	142	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> [_ k / n ]_ C e. CC )
144	125, 143	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC )
145		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n k
146		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n k <_ M
147		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n 0
148	146, 102, 147	nfif 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 )
149	120, 105	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
150		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) )
151	145, 148, 149, 150	fvmptf 5657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
152	111, 144, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ M , [_ k / n ]_ C , 0 ) )
153	152, 125	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) = [_ k / n ]_ C )
154	109, 124, 153	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` k ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` k ) )
155	137	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC )
156		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n [_ x / n ]_ C
157	156	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n [_ x / n ]_ C e. CC
158		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = x -> C = [_ x / n ]_ C )
159	158	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = x -> ( C e. CC <-> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
160	157, 159	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> ( A. n e. ( 1 ... M ) C e. CC -> [_ x / n ]_ C e. CC ) )
161	28, 155, 160	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> [_ x / n ]_ C e. CC )
162	161, 30, 34	ifcldadc 3591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC )
163		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n x
164		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n x <_ M
165	164, 156, 147	nfif 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 )
166	36, 158	ifbieq1d 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = x -> if ( n <_ M , C , 0 ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
167	163, 165, 166, 150	fvmptf 5657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
168	7, 162, 167	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , [_ x / n ]_ C , 0 ) )
169	168, 162	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ` x ) e. CC )
170		addcl 8021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
171	170	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
172	99, 154, 41, 169, 171	seq3fveq 10588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
173	12, 172	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
174		f1oeq1 5495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
175		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
176	175	csbeq1d 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
177		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- f e. _V
178		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- n e. _V
179	177, 178	fvex 5581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` n ) e. _V
180	175, 179	eqeltrrdi 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = F -> ( F ` n ) e. _V )
181	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f = F /\ k = ( F ` n ) ) -> B = C )
182	180, 181	csbied 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = F -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C )
183	176, 182	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = C )
184	183	ifeq1d 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = F -> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , C , 0 ) )
185	184	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = F -> ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) )
186	185	seqeq3d 10564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = F -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) )
187	186	fveq1d 5563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) )
188	187	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) )
189	174, 188	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) <-> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
190	189	spcegv 2852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. _V -> ( ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , C , 0 ) ) ) ` M ) ) -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
191	98, 173, 190	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
192		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) )
193		f1oeq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
194	192, 193	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
195		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = M -> ( n <_ m <-> n <_ M ) )
196	195	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = M -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
197	196	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = M -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
198	197	seqeq3d 10564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
199		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = M -> m = M )
200	198, 199	fveq12d 5568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) )
201	200	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) )
202	194, 201	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
203	202	exbidv 1839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
204	203	rspcev 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` M ) ) ) -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
205	11, 191, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
206	205	olcd 735	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
207	206	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
208		breq2 4038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
209	208	3anbi3d 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
210	209	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) ) )
211		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
212	211	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
213	212	exbidv 1839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
214	213	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
215	210, 214	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
216	215	moi2 2945	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC /\ E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
217	45, 92, 93, 207, 216	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
218	217	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
219	206, 215	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
220	218, 219	impbid 129	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
221	220	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) ) )
222	221	iota5 5241	. . 3 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) e. CC ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
223	44, 222	mpdan 421	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
224	1, 223	eqtrid 2241	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   E*wmo 2046   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   iotacio 5218   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   <_ cle 8079   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556  ♯chash 10884   ~~> cli 11460   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  isumz  11571  fsumf1o  11572  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  sumsnf  11591  fsummulc2  11630