Theorem fsum3 10779

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1	|- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
fsum.2	|- ( ph -> M e. NN )
fsum.3	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsum.5	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )

Assertion

Ref	Expression
fsum3	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k   k, F, n   k, G, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)

Proof of Theorem fsum3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum.1	. . 3 |- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
2		fsum.2	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
3		fsum.3	. . 3 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
4		fsum.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
5		fsum.5	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )
6	1, 2, 3, 4, 5	fisum 10778	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) , CC ) ` M ) )
7		1zzd 8777	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8		elnnuz 9055	. . . . . . 7 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	8	biimpri 131	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
10		fveq2 5305	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> ( G ` n ) = ( G ` x ) )
11	10	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( ( G ` n ) e. CC <-> ( G ` x ) e. CC ) )
12	1, 2, 3, 4, 5	fsumgcl 10777	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
13	12	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) e. CC )
14		1zzd 8777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 e. ZZ )
15	2	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> M e. NN )
16	15	nnzd 8867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> M e. ZZ )
17		eluzelz 9028	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
18	17	ad2antlr 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ZZ )
19	14, 16, 18	3jca 1123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
20		eluzle 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
21	20	ad2antlr 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> 1 <_ x )
22		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x <_ M )
23	21, 22	jca 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ M ) )
24		elfz2 9431	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ M ) ) )
25	19, 23, 24	sylanbrc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> x e. ( 1 ... M ) )
26	11, 13, 25	rspcdva 2727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ M ) -> ( G ` x ) e. CC )
27		0cnd 7481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ M ) -> 0 e. CC )
28	2	nnzd 8867	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		zdcle 8823	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID x <_ M )
30	17, 28, 29	syl2anr 284	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ M )
31	26, 27, 30	ifcldadc 3420	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC )
32		breq1 3848	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( n <_ M <-> x <_ M ) )
33	32, 10	ifbieq1d 3413	. . . . . . 7 |- ( n = x -> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
34		eqid 2088	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) )
35	33, 34	fvmptg 5380	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
36	9, 31, 35	syl2an2 561	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ M , ( G ` x ) , 0 ) )
37	36, 31	eqeltrd 2164	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
38	7, 37	iseqseq3 9902	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) , CC ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) )
39	38	fveq1d 5307	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) , CC ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )
40	6, 39	eqtrd 2120	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ M , ( G ` n ) , 0 ) ) ) ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 780   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3393   class class class wbr 3845   |-> cmpt 3899   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424   seqcseq4 9851   seqcseq 9852   sum_csu 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743

This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  10792  fsummulc2  10842