Theorem cnmpt11 15148

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt11.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt11.b	|- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
cnmpt11.c	|- ( y = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt11	|- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, x   x, J, y   x, X, y   x, Y, y   x, K, y   x, L, y   x, B   y, C

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( y)   C( x)

Proof of Theorem cnmpt11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
2		cnmptid.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt11.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmpt11.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnf2 15070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
7		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
8	7	fmpt 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
9	6, 8	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
10	9	r19.21bi 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
11	7	fvmpt2 5761	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
12	1, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
13	12	fveq2d 5674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) )
14		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( y e. Y |-> B ) = ( y e. Y |-> B )
15		cnmpt11.c	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> B = C )
16	15	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( B e. U. L <-> C e. U. L ) )
17		cnmpt11.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
18		cntop2 15067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. Top )
20		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. L = U. L
21	20	toptopon 14883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
22	19, 21	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
23		cnf2 15070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
24	3, 22, 17, 23	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
25	14	fmpt 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. Y B e. U. L <-> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
26	24, 25	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. Y B e. U. L )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y B e. U. L )
28	16, 27, 10	rspcdva 2926	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. U. L )
29	14, 15, 10, 28	fvmptd3 5771	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) = C )
30	13, 29	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = C )
31		fvco3 5748	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
32	6, 31	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
33		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C )
34	33	fvmpt2 5761	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ C e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
35	1, 28, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
37	36	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
38		nfv 1577	. . . . 5 |- F/ z ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x )
39		nfcv 2384	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( y e. Y |-> B )
40		nfmpt1 4203	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> A )
41	39, 40	nfco 4920	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) )
42		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x z
43	41, 42	nffv 5680	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z )
44		nfmpt1 4203	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X |-> C )
45	44, 42	nffv 5680	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> C ) ` z )
46	43, 45	nfeq 2392	. . . . 5 |- F/ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z )
47		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) )
48		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
49	47, 48	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
50	38, 46, 49	cbvral 2774	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
51	37, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
52		fco 5527	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L /\ ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
53	24, 6, 52	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
54	53	ffnd 5509	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X )
55	28	fmpttd 5832	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> U. L )
56	55	ffnd 5509	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) Fn X )
57		eqfnfv 5775	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X /\ ( x e. X |-> C ) Fn X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
58	54, 56, 57	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
59	51, 58	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
60		cnco 15086	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
61	4, 17, 60	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
62	59, 61	eqeltrrd 2310	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   o. ccom 4753   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  cnmpt11f  15149