Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt11 Unicode version

Theorem cnmpt11 12525
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j TopOn
cnmpt11.a
cnmpt11.k TopOn
cnmpt11.b
cnmpt11.c
Assertion
Ref Expression
cnmpt11
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt11
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . . . . 9
2 cnmptid.j . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3 cnmpt11.k . . . . . . . . . . . 12 TopOn
4 cnmpt11.a . . . . . . . . . . . 12
5 cnf2 12447 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
62, 3, 4, 5syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2140 . . . . . . . . . . . 12
87fmpt 5581 . . . . . . . . . . 11
96, 8sylibr 133 . . . . . . . . . 10
109r19.21bi 2524 . . . . . . . . 9
117fvmpt2 5515 . . . . . . . . 9
121, 10, 11syl2anc 409 . . . . . . . 8
1312fveq2d 5436 . . . . . . 7
14 eqid 2140 . . . . . . . 8
15 cnmpt11.c . . . . . . . 8
1615eleq1d 2209 . . . . . . . . 9
17 cnmpt11.b . . . . . . . . . . . . . 14
18 cntop2 12444 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
20 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . 14
2120toptopon 12258 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
2219, 21sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
23 cnf2 12447 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
243, 22, 17, 23syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11
2514fmpt 5581 . . . . . . . . . . 11
2624, 25sylibr 133 . . . . . . . . . 10
2726adantr 274 . . . . . . . . 9
2816, 27, 10rspcdva 2799 . . . . . . . 8
2914, 15, 10, 28fvmptd3 5525 . . . . . . 7
3013, 29eqtrd 2173 . . . . . 6
31 fvco3 5503 . . . . . . 7
326, 31sylan 281 . . . . . 6
33 eqid 2140 . . . . . . . 8
3433fvmpt2 5515 . . . . . . 7
351, 28, 34syl2anc 409 . . . . . 6
3630, 32, 353eqtr4d 2183 . . . . 5
3736ralrimiva 2509 . . . 4
38 nfv 1509 . . . . 5
39 nfcv 2282 . . . . . . . 8
40 nfmpt1 4030 . . . . . . . 8
4139, 40nfco 4715 . . . . . . 7
42 nfcv 2282 . . . . . . 7
4341, 42nffv 5442 . . . . . 6
44 nfmpt1 4030 . . . . . . 7
4544, 42nffv 5442 . . . . . 6
4643, 45nfeq 2290 . . . . 5
47 fveq2 5432 . . . . . 6
48 fveq2 5432 . . . . . 6
4947, 48eqeq12d 2155 . . . . 5
5038, 46, 49cbvral 2654 . . . 4
5137, 50sylib 121 . . 3
52 fco 5299 . . . . . 6
5324, 6, 52syl2anc 409 . . . . 5
5453ffnd 5284 . . . 4
5528fmpttd 5586 . . . . 5
5655ffnd 5284 . . . 4
57 eqfnfv 5529 . . . 4
5854, 56, 57syl2anc 409 . . 3
5951, 58mpbird 166 . 2
60 cnco 12463 . . 3
614, 17, 60syl2anc 409 . 2
6259, 61eqeltrrd 2218 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  cuni 3745   cmpt 3998   ccom 4554   wfn 5129  wf 5130  cfv 5134  (class class class)co 5785  ctop 12237  TopOnctopon 12250   ccn 12427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-fv 5142  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-1st 6049  df-2nd 6050  df-map 6555  df-top 12238  df-topon 12251  df-cn 12430 This theorem is referenced by:  cnmpt11f  12526
 Copyright terms: Public domain W3C validator