Theorem cnmpt11 13077

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt11.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt11.b	|- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
cnmpt11.c	|- ( y = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt11	|- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, x   x, J, y   x, X, y   x, Y, y   x, K, y   x, L, y   x, B   y, C

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( y)   C( x)

Proof of Theorem cnmpt11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
2		cnmptid.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt11.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmpt11.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnf2 12999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
7		eqid 2170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
8	7	fmpt 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
9	6, 8	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
10	9	r19.21bi 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
11	7	fvmpt2 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
12	1, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
13	12	fveq2d 5500	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) )
14		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( y e. Y |-> B ) = ( y e. Y |-> B )
15		cnmpt11.c	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> B = C )
16	15	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( B e. U. L <-> C e. U. L ) )
17		cnmpt11.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
18		cntop2 12996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. Top )
20		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. L = U. L
21	20	toptopon 12810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
22	19, 21	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
23		cnf2 12999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
24	3, 22, 17, 23	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
25	14	fmpt 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. Y B e. U. L <-> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
26	24, 25	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. Y B e. U. L )
27	26	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y B e. U. L )
28	16, 27, 10	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. U. L )
29	14, 15, 10, 28	fvmptd3 5589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) = C )
30	13, 29	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = C )
31		fvco3 5567	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
32	6, 31	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
33		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C )
34	33	fvmpt2 5579	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ C e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
35	1, 28, 34	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
37	36	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
38		nfv 1521	. . . . 5 |- F/ z ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x )
39		nfcv 2312	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( y e. Y |-> B )
40		nfmpt1 4082	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> A )
41	39, 40	nfco 4776	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) )
42		nfcv 2312	. . . . . . 7 |- F/_ x z
43	41, 42	nffv 5506	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z )
44		nfmpt1 4082	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X |-> C )
45	44, 42	nffv 5506	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> C ) ` z )
46	43, 45	nfeq 2320	. . . . 5 |- F/ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z )
47		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) )
48		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
49	47, 48	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
50	38, 46, 49	cbvral 2692	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
51	37, 50	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
52		fco 5363	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L /\ ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
53	24, 6, 52	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
54	53	ffnd 5348	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X )
55	28	fmpttd 5651	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> U. L )
56	55	ffnd 5348	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) Fn X )
57		eqfnfv 5593	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X /\ ( x e. X |-> C ) Fn X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
58	54, 56, 57	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
59	51, 58	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
60		cnco 13015	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
61	4, 17, 60	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
62	59, 61	eqeltrrd 2248	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  cnmpt11f  13078