Theorem cncff 15245

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )

Proof of Theorem cncff

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 15243	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
2		cncfrss2 15244	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
3		elcncf 15241	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
5	4	ibi 176	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   < clt 8177   - cmin 8313   RR+crp 9845   abscabs 11503   -cn->ccncf 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795  df-cncf 15239

This theorem is referenced by:  cncfss  15251  climcncf  15252  cncfco  15259  cncfmpt1f  15266  negfcncf  15274  mulcncflem  15275  mulcncf  15276  divcncfap  15282  maxcncf  15283  mincncf  15284  ivthdec  15312  ivthreinc  15313  cnmptlimc  15342  dvrecap  15381  sincn  15437  coscn  15438