ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncff Unicode version

Theorem cncff 12749
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 12747 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 12748 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 12745 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 408 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 175 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 111 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3929   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7632    < clt 7814    - cmin 7947   RR+crp 9455   abscabs 10783   -cn->ccncf 12742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-cncf 12743
This theorem is referenced by:  cncfss  12755  climcncf  12756  cncfco  12763  cncfmpt1f  12769  negfcncf  12774  mulcncflem  12775  mulcncf  12776  ivthdec  12807  cnmptlimc  12828  dvrecap  12862  sincn  12875  coscn  12876
  Copyright terms: Public domain W3C validator