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Theorem cncfco 12642
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
cncfco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
Assertion
Ref Expression
cncfco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables  w  u  x  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
2 cncff 12628 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  G : B
--> C )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> C )
4 cncfco.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
5 cncff 12628 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 fco 5256 . . 3  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> C )
83, 6, 7syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> C )
91adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> C ) )
106adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> B )
11 simprl 503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  x  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 5522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  x
)  e.  B )
13 simprr 504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR+ )
14 cncfi 12629 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( B
-cn-> C )  /\  ( F `  x )  e.  B  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
159, 12, 13, 14syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
164ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
17 simplrl 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  x  e.  A
)
18 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  u  e.  RR+ )
19 cncfi 12629 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
216ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  F : A --> B )
22 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
24 fvoveq1 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
2524breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
) )
2625imbrov2fvoveq 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
2726rspcv 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
2823, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
29 fvco3 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3021, 22, 29syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3117adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
32 fvco3 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3321, 31, 32syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3430, 33oveq12d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) )
3534fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) ) )
3635breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
3736imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3828, 37sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
3938imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4039an32s 540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4140imim2d 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4241anassrs 395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4342ralimdva 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  A  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4443reximdva 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4544ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
4620, 45mpid 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4746rexlimdva 2524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4815, 47mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
) )  <  y
) )
4948ralrimivva 2489 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
50 cncfrss 12626 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
514, 50syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
52 cncfrss2 12627 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  C  C_  CC )
531, 52syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
54 elcncf2 12625 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
568, 49, 55mpbir2and 911 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897    o. ccom 4511   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582    < clt 7764    - cmin 7897   RR+crp 9390   abscabs 10709   -cn->ccncf 12621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-map 6510  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-2 8736  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-cncf 12622
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  12648  cdivcncfap  12651  negfcncf  12653  sincn  12741  coscn  12742
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