Theorem cncfco 15692

Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfco.4	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
cncfco.5	|- ( ph -> G e. ( B -cn-> C ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfco	|- ( ph -> ( G o. F ) e. ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco

Dummy variables w u x y z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfco.5	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( B -cn-> C ) )
2		cncff 15678	. . . 4 |- ( G e. ( B -cn-> C ) -> G : B --> C )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : B --> C )
4		cncfco.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> B ) )
5		cncff 15678	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
7		fco 5552	. . 3 |- ( ( G : B --> C /\ F : A --> B ) -> ( G o. F ) : A --> C )
8	3, 6, 7	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( G o. F ) : A --> C )
9	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> G e. ( B -cn-> C ) )
10	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> F : A --> B )
11		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> x e. A )
12	10, 11	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> ( F ` x ) e. B )
13		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
14		cncfi 15679	. . . . 5 |- ( ( G e. ( B -cn-> C ) /\ ( F ` x ) e. B /\ y e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) )
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) )
16	4	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> F e. ( A -cn-> B ) )
17		simplrl 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> x e. A )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> u e. RR+ )
19		cncfi 15679	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ x e. A /\ u e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) )
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) )
21	6	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> F : A --> B )
22		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> w e. A )
23	21, 22	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
24		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( F ` w ) -> ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) )
25	24	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( F ` w ) -> ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) )
26	25	imbrov2fvoveq 6110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( F ` w ) -> ( ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) )
27	26	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) )
28	23, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) )
29		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : A --> B /\ w e. A ) -> ( ( G o. F ) ` w ) = ( G ` ( F ` w ) ) )
30	21, 22, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( G o. F ) ` w ) = ( G ` ( F ` w ) ) )
31	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> x e. A )
32		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
33	21, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
34	30, 33	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) = ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) )
35	34	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) )
36	35	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` ( F ` w ) ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) )
38	28, 37	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) )
40	39	an32s 574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) )
41	40	imim2d 54	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) /\ ( z e. RR+ /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) -> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
42	41	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) /\ z e. RR+ ) /\ w e. A ) -> ( ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) -> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
43	42	ralimdva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) -> A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
44	43	reximdva 2652	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) /\ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> ( A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < u ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) ) )
46	20, 45	mpid 42	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) /\ u e. RR+ ) -> ( A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
47	46	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> ( E. u e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( v - ( F ` x ) ) ) < u -> ( abs ` ( ( G ` v ) - ( G ` ( F ` x ) ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) )
48	15, 47	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) )
49	48	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) )
50		cncfrss 15676	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
51	4, 50	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
52		cncfrss2 15677	. . . 4 |- ( G e. ( B -cn-> C ) -> C C_ CC )
53	1, 52	syl 14	. . 3 |- ( ph -> C C_ CC )
54		elcncf2 15675	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ C C_ CC ) -> ( ( G o. F ) e. ( A -cn-> C ) <-> ( ( G o. F ) : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) ) )
55	51, 53, 54	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( G o. F ) e. ( A -cn-> C ) <-> ( ( G o. F ) : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( G o. F ) ` w ) - ( ( G o. F ) ` x ) ) ) < y ) ) ) )
56	8, 49, 55	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( G o. F ) e. ( A -cn-> C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   o. ccom 4778   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   < clt 8360   - cmin 8497   RR+crp 10054   abscabs 11763   -cn->ccncf 15671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-cncf 15672

This theorem is used by:  cncfmpt1f  15699  cdivcncfap  15705  negfcncf  15707  divcncfap  15715  sincn  15870  coscn  15871