ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfrss2 GIF version

Theorem cncfrss2 12769
Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfrss2 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cncf 12764 . . 3 cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏𝑚 𝑎) ∣ ∀𝑥𝑎𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑎 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)})
21elmpocl2 5977 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 ℂ)
32elpwid 3525 1 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  {crab 2421  wss 3075  𝒫 cpw 3514   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  𝑚 cmap 6549  cc 7641   < clt 7823  cmin 7956  +crp 9469  abscabs 10800  cnccncf 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-cncf 12764
This theorem is referenced by:  cncff  12770  cncfi  12771  rescncf  12774  climcncf  12777  cncfco  12784  cnlimci  12848
  Copyright terms: Public domain W3C validator