Theorem cncfrss2 15660

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 15655	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑𝑚 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl2 6280	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 3699	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  ℂcc 8171   < clt 8354   − cmin 8491  ℝ⁺crp 10037  abscabs 11746  –cn→ccncf 15654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-cncf 15655

This theorem is referenced by:  cncff  15661  cncfi  15662  rescncf  15665  climcncf  15668  cncfco  15675  cnlimci  15757