Theorem cnlimci 15484

Description: If F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> D ) )
cnlimci.c	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		oveq2 6036	. . 3 |- ( x = B -> ( F lim CC x ) = ( F lim CC B ) )
3	1, 2	eleq12d 2302	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) <-> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) )
4		cnlimci.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> D ) )
5		cncfrss 15386	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> D ) -> A C_ CC )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cncfrss2 15387	. . . . . 6 |- ( F e. ( A -cn-> D ) -> D C_ CC )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
9		ssid 3248	. . . . 5 |- CC C_ CC
10		cncfss 15394	. . . . 5 |- ( ( D C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> D ) C_ ( A -cn-> CC ) )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( A -cn-> D ) C_ ( A -cn-> CC ) )
12	11, 4	sseldd 3229	. . 3 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> CC ) )
13		cnlimcim 15482	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
14	13	imp 124	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
15	14	simprd 114	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
16	6, 12, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
17		cnlimci.c	. 2 |- ( ph -> B e. A )
18	3, 16, 17	rspcdva 2916	1 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   -cn->ccncf 15381   lim CC climc 15465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-cncf 15382  df-limced 15467

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  15485