Theorem cnlimci 12591

Description: If F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> D ) )
cnlimci.c	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	|- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5373	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		oveq2 5734	. . 3 |- ( x = B -> ( F lim CC x ) = ( F lim CC B ) )
3	1, 2	eleq12d 2183	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) <-> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) )
4		cnlimci.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> D ) )
5		cncfrss 12541	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> D ) -> A C_ CC )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
7		cncfrss2 12542	. . . . . 6 |- ( F e. ( A -cn-> D ) -> D C_ CC )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ CC )
9		ssid 3081	. . . . 5 |- CC C_ CC
10		cncfss 12549	. . . . 5 |- ( ( D C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> D ) C_ ( A -cn-> CC ) )
11	8, 9, 10	sylancl 407	. . . 4 |- ( ph -> ( A -cn-> D ) C_ ( A -cn-> CC ) )
12	11, 4	sseldd 3062	. . 3 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> CC ) )
13		cnlimcim 12589	. . . . 5 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
14	13	imp 123	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
15	14	simprd 113	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ F e. ( A -cn-> CC ) ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
16	6, 12, 15	syl2anc 406	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
17		cnlimci.c	. 2 |- ( ph -> B e. A )
18	3, 16, 17	rspcdva 2763	1 |- ( ph -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   C_ wss 3035   -->wf 5075   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7538   -cn->ccncf 12536   lim CC climc 12572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657  ax-caucvg 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-map 6495  df-pm 6496  df-sup 6820  df-inf 6821  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-q 9307  df-rp 9337  df-xneg 9445  df-xadd 9446  df-seqfrec 10105  df-exp 10179  df-cj 10500  df-re 10501  df-im 10502  df-rsqrt 10655  df-abs 10656  df-rest 11958  df-topgen 11977  df-psmet 11992  df-xmet 11993  df-met 11994  df-bl 11995  df-mopn 11996  df-top 12001  df-topon 12014  df-bases 12046  df-cn 12193  df-cnp 12194  df-cncf 12537  df-limced 12574

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  12592