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Theorem rescncf 12747
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
2 cncfrss 12741 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
32adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A  C_  CC )
4 cncfrss2 12742 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
54adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  CC )
6 elcncf 12739 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
73, 5, 6syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
81, 7mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F : A --> B )
10 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  A )
119, 10fssresd 5299 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
128simprd 113 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )
13 ssralv 3161 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
14 ssralv 3161 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
15 fvres 5445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
16 fvres 5445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
1715, 16oveqan12d 5793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )
1817fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
1918breq1d 3939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
2019imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y )  <->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) ) )
2120biimprd 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2221ralimdva 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2314, 22sylan9 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2423reximdv 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2524ralimdv 2500 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2625ralimdva 2499 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2713, 26syld 45 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2810, 12, 27sylc 62 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) )
2910, 3sstrd 3107 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  CC )
30 elcncf 12739 . . . 4  |-  ( ( C  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3129, 5, 30syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3211, 28, 31mpbir2and 928 . 2  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) )
3332ex 114 1  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3929    |` cres 4541   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625    < clt 7807    - cmin 7940   RR+crp 9448   abscabs 10776   -cn->ccncf 12736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-cncf 12737
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