ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rescncf Unicode version

Theorem rescncf 12334
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
2 cncfrss 12328 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
32adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A  C_  CC )
4 cncfrss2 12329 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
54adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  CC )
6 elcncf 12326 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
73, 5, 6syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
81, 7mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F : A --> B )
10 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  A )
119, 10fssresd 5222 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
128simprd 113 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )
13 ssralv 3100 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
14 ssralv 3100 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
15 fvres 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
16 fvres 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
1715, 16oveqan12d 5709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )
1817fveq2d 5344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
1918breq1d 3877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
2019imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y )  <->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) ) )
2120biimprd 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2221ralimdva 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2314, 22sylan9 402 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2423reximdv 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2524ralimdv 2454 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2625ralimdva 2453 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2713, 26syld 45 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2810, 12, 27sylc 62 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) )
2910, 3sstrd 3049 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  CC )
30 elcncf 12326 . . . 4  |-  ( ( C  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3129, 5, 30syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3211, 28, 31mpbir2and 893 . 2  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) )
3332ex 114 1  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371    C_ wss 3013   class class class wbr 3867    |` cres 4469   -->wf 5045   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445    < clt 7619    - cmin 7750   RR+crp 9233   abscabs 10545   -cn->ccncf 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-map 6447  df-cncf 12324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator