Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rescncf Unicode version

Theorem rescncf 12334
 Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6
2 cncfrss 12328 . . . . . . . 8
32adantl 272 . . . . . . 7
4 cncfrss2 12329 . . . . . . . 8
54adantl 272 . . . . . . 7
6 elcncf 12326 . . . . . . 7
73, 5, 6syl2anc 404 . . . . . 6
81, 7mpbid 146 . . . . 5
98simpld 111 . . . 4
10 simpl 108 . . . 4
119, 10fssresd 5222 . . 3
128simprd 113 . . . 4
13 ssralv 3100 . . . . 5
14 ssralv 3100 . . . . . . . . 9
15 fvres 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 fvres 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16oveqan12d 5709 . . . . . . . . . . . . . 14
1817fveq2d 5344 . . . . . . . . . . . . 13
1918breq1d 3877 . . . . . . . . . . . 12
2019imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11
2120biimprd 157 . . . . . . . . . 10
2221ralimdva 2453 . . . . . . . . 9
2314, 22sylan9 402 . . . . . . . 8
2423reximdv 2486 . . . . . . 7
2524ralimdv 2454 . . . . . 6
2625ralimdva 2453 . . . . 5
2713, 26syld 45 . . . 4
2810, 12, 27sylc 62 . . 3
2910, 3sstrd 3049 . . . 4
30 elcncf 12326 . . . 4
3129, 5, 30syl2anc 404 . . 3
3211, 28, 31mpbir2and 893 . 2
3332ex 114 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wcel 1445  wral 2370  wrex 2371   wss 3013   class class class wbr 3867   cres 4469  wf 5045  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445   clt 7619   cmin 7750  crp 9233  cabs 10545  ccncf 12323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-map 6447  df-cncf 12324 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator