Theorem rescncf 15375

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rescncf	|- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F e. ( A -cn-> B ) )
2		cncfrss 15369	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
4		cncfrss2 15370	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ CC )
6		elcncf 15367	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	simpld 112	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F : A --> B )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ A )
11	9, 10	fssresd 5521	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) : C --> B )
12	8	simprd 114	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
13		ssralv 3292	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
14		ssralv 3292	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
15		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. C -> ( ( F |` C ) ` x ) = ( F ` x ) )
16		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C -> ( ( F |` C ) ` w ) = ( F ` w ) )
17	15, 16	oveqan12d 6047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
18	17	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
19	18	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralimdva 2600	. . . . . . . . 9 |- ( x e. C -> ( A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
23	14, 22	sylan9 409	. . . . . . . 8 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
24	23	reximdv 2634	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
25	24	ralimdv 2601	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
26	25	ralimdva 2600	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
27	13, 26	syld 45	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
28	10, 12, 27	sylc 62	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) )
29	10, 3	sstrd 3238	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
30		elcncf 15367	. . . 4 |- ( ( C C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
31	29, 5, 30	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
32	11, 28, 31	mpbir2and 953	. 2 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) )
33	32	ex 115	1 |- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   |` cres 4733   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   < clt 8256   - cmin 8392   RR+crp 9932   abscabs 11620   -cn->ccncf 15364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862  df-cncf 15365

This theorem is referenced by:  hovercncf  15440