Theorem rescncf 14817

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rescncf	|- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F e. ( A -cn-> B ) )
2		cncfrss 14811	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
4		cncfrss2 14812	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ CC )
6		elcncf 14809	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	simpld 112	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F : A --> B )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ A )
11	9, 10	fssresd 5434	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) : C --> B )
12	8	simprd 114	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
13		ssralv 3247	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
14		ssralv 3247	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
15		fvres 5582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. C -> ( ( F |` C ) ` x ) = ( F ` x ) )
16		fvres 5582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C -> ( ( F |` C ) ` w ) = ( F ` w ) )
17	15, 16	oveqan12d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
18	17	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
19	18	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralimdva 2564	. . . . . . . . 9 |- ( x e. C -> ( A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
23	14, 22	sylan9 409	. . . . . . . 8 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
24	23	reximdv 2598	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
25	24	ralimdv 2565	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
26	25	ralimdva 2564	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
27	13, 26	syld 45	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
28	10, 12, 27	sylc 62	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) )
29	10, 3	sstrd 3193	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
30		elcncf 14809	. . . 4 |- ( ( C C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
31	29, 5, 30	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
32	11, 28, 31	mpbir2and 946	. 2 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) )
33	32	ex 115	1 |- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   |` cres 4665   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   < clt 8061   - cmin 8197   RR+crp 9728   abscabs 11162   -cn->ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-map 6709  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  hovercncf  14882