Theorem rescncf 12776

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rescncf	|- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F e. ( A -cn-> B ) )
2		cncfrss 12770	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
4		cncfrss2 12771	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ CC )
6		elcncf 12768	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	simpld 111	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F : A --> B )
10		simpl 108	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ A )
11	9, 10	fssresd 5307	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) : C --> B )
12	8	simprd 113	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
13		ssralv 3166	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
14		ssralv 3166	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
15		fvres 5453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. C -> ( ( F |` C ) ` x ) = ( F ` x ) )
16		fvres 5453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C -> ( ( F |` C ) ` w ) = ( F ` w ) )
17	15, 16	oveqan12d 5801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
18	17	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
19	18	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
20	19	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
21	20	biimprd 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralimdva 2502	. . . . . . . . 9 |- ( x e. C -> ( A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
23	14, 22	sylan9 407	. . . . . . . 8 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
24	23	reximdv 2536	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
25	24	ralimdv 2503	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
26	25	ralimdva 2502	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
27	13, 26	syld 45	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
28	10, 12, 27	sylc 62	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) )
29	10, 3	sstrd 3112	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
30		elcncf 12768	. . . 4 |- ( ( C C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
31	29, 5, 30	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
32	11, 28, 31	mpbir2and 929	. 2 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) )
33	32	ex 114	1 |- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   |` cres 4549   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   < clt 7824   - cmin 7957   RR+crp 9470   abscabs 10801   -cn->ccncf 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552  df-cncf 12766

This theorem is referenced by: (None)