Theorem rescncf 12334

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rescncf	|- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F e. ( A -cn-> B ) )
2		cncfrss 12328	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
3	2	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
4		cncfrss2 12329	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )
5	4	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ CC )
6		elcncf 12326	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 404	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	simpld 111	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F : A --> B )
10		simpl 108	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ A )
11	9, 10	fssresd 5222	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) : C --> B )
12	8	simprd 113	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
13		ssralv 3100	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
14		ssralv 3100	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
15		fvres 5364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. C -> ( ( F |` C ) ` x ) = ( F ` x ) )
16		fvres 5364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. C -> ( ( F |` C ) ` w ) = ( F ` w ) )
17	15, 16	oveqan12d 5709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
18	17	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
19	18	breq1d 3877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
20	19	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
21	20	biimprd 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralimdva 2453	. . . . . . . . 9 |- ( x e. C -> ( A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
23	14, 22	sylan9 402	. . . . . . . 8 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
24	23	reximdv 2486	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
25	24	ralimdv 2454	. . . . . 6 |- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
26	25	ralimdva 2453	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
27	13, 26	syld 45	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) )
28	10, 12, 27	sylc 62	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) )
29	10, 3	sstrd 3049	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
30		elcncf 12326	. . . 4 |- ( ( C C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
31	29, 5, 30	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) )
32	11, 28, 31	mpbir2and 893	. 2 |- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) )
33	32	ex 114	1 |- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   C_ wss 3013   class class class wbr 3867   |` cres 4469   -->wf 5045   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   < clt 7619   - cmin 7750   RR+crp 9233   abscabs 10545   -cn->ccncf 12323

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-map 6447  df-cncf 12324

This theorem is referenced by: (None)