Theorem cnv0 5012

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4987	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 4734	. 2 ⊢ Rel ∅
3		vex 2733	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2733	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	3, 4	opelcnv 4791	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
6		noel 3418	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
7		noel 3418	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅
8	6, 7	2false 696	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
9	5, 8	bitr4i 186	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4703	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  ⟨cop 3584  ^◡ccnv 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617

This theorem is referenced by:  xp0  5028  cnveq0  5065  co01  5123  f10  5474  f1o00  5475  tpos0  6250