Theorem cnv0 5070

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5044	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 4785	. 2 ⊢ Rel ∅
3		vex 2763	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2763	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	3, 4	opelcnv 4845	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
6		noel 3451	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
7		noel 3451	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅
8	6, 7	2false 702	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4754	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3447  ⟨cop 3622  ^◡ccnv 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668

This theorem is referenced by:  xp0  5086  cnveq0  5123  co01  5181  f10  5535  f1o00  5536  tpos0  6329