Theorem cnv0 5171

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5145	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 4882	. 2 ⊢ Rel ∅
3		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	3, 4	opelcnv 4942	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
6		noel 3516	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
7		noel 3516	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅
8	6, 7	2false 709	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4849	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512  ⟨cop 3697  ^◡ccnv 4753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762

This theorem is referenced by:  xp0  5187  cnveq0  5224  co01  5282  f10  5654  f1o00  5656  tpos0  6518