Theorem cnv0 5105

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5079	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 4818	. 2 ⊢ Rel ∅
3		vex 2779	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2779	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	3, 4	opelcnv 4878	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
6		noel 3472	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
7		noel 3472	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅
8	6, 7	2false 703	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4787	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∅c0 3468  ⟨cop 3646  ^◡ccnv 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701

This theorem is referenced by:  xp0  5121  cnveq0  5158  co01  5216  f10  5578  f1o00  5580  tpos0  6383