Theorem cnv0 5050

Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5024	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 4769	. 2 ⊢ Rel ∅
3		vex 2755	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		vex 2755	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	3, 4	opelcnv 4827	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
6		noel 3441	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
7		noel 3441	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅
8	6, 7	2false 702	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ∅)
9	5, 8	bitr4i 187	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
10	1, 2, 9	eqrelriiv 4738	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∅c0 3437  ⟨cop 3610  ^◡ccnv 4643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652

This theorem is referenced by:  xp0  5066  cnveq0  5103  co01  5161  f10  5514  f1o00  5515  tpos0  6300