Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsncnv Unicode version

Theorem mapsncnv 6598
 Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s
mapsncnv.b
mapsncnv.x
mapsncnv.f
Assertion
Ref Expression
mapsncnv
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem mapsncnv
StepHypRef Expression
1 elmapi 6573 . . . . . . . . 9
2 mapsncnv.x . . . . . . . . . 10
32snid 3564 . . . . . . . . 9
4 ffvelrn 5562 . . . . . . . . 9
51, 3, 4sylancl 410 . . . . . . . 8
6 eqid 2140 . . . . . . . . 9
7 mapsncnv.b . . . . . . . . 9
86, 7, 2mapsnconst 6597 . . . . . . . 8
95, 8jca 304 . . . . . . 7
10 eleq1 2203 . . . . . . . 8
11 sneq 3544 . . . . . . . . . 10
1211xpeq2d 4572 . . . . . . . . 9
1312eqeq2d 2152 . . . . . . . 8
1410, 13anbi12d 465 . . . . . . 7
159, 14syl5ibrcom 156 . . . . . 6
1615imp 123 . . . . 5
17 fconst6g 5330 . . . . . . . . 9
182snex 4118 . . . . . . . . . 10
197, 18elmap 6580 . . . . . . . . 9
2017, 19sylibr 133 . . . . . . . 8
21 vex 2693 . . . . . . . . . . 11
2221fvconst2 5645 . . . . . . . . . 10
233, 22mp1i 10 . . . . . . . . 9
2423eqcomd 2146 . . . . . . . 8
2520, 24jca 304 . . . . . . 7
26 eleq1 2203 . . . . . . . 8
27 fveq1 5429 . . . . . . . . 9
2827eqeq2d 2152 . . . . . . . 8
2926, 28anbi12d 465 . . . . . . 7
3025, 29syl5ibrcom 156 . . . . . 6
3130imp 123 . . . . 5
3216, 31impbii 125 . . . 4
33 mapsncnv.s . . . . . . 7
3433oveq2i 5794 . . . . . 6
3534eleq2i 2207 . . . . 5
3635anbi1i 454 . . . 4
3733xpeq1i 4568 . . . . . 6
3837eqeq2i 2151 . . . . 5
3938anbi2i 453 . . . 4
4032, 36, 393bitr4i 211 . . 3
4140opabbii 4004 . 2
42 mapsncnv.f . . . . 5
43 df-mpt 4000 . . . . 5
4442, 43eqtri 2161 . . . 4
4544cnveqi 4723 . . 3
46 cnvopab 4949 . . 3
4745, 46eqtri 2161 . 2
48 df-mpt 4000 . 2
4941, 47, 483eqtr4i 2171 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  cvv 2690  csn 3533  copab 3997   cmpt 3998   cxp 4546  ccnv 4547  wf 5128  cfv 5132  (class class class)co 5783   cmap 6551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-map 6553 This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  6599  mapsnf1o3  6600
 Copyright terms: Public domain W3C validator