Theorem mapsncnv 6673

Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsncnv	|- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, S, y   y, X

Allowed substitution hints:   F( x, y)   X( x)

Proof of Theorem mapsncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6648	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x : { X } --> B )
2		mapsncnv.x	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
3	2	snid 3614	. . . . . . . . 9 |- X e. { X }
4		ffvelrn 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( x : { X } --> B /\ X e. { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
5	1, 3, 4	sylancl 411	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
6		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- { X } = { X }
7		mapsncnv.b	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
8	6, 7, 2	mapsnconst 6672	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
9	5, 8	jca 304	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
10		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B <-> ( x ` X ) e. B ) )
11		sneq 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x ` X ) -> { y } = { ( x ` X ) } )
12	11	xpeq2d 4635	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x ` X ) -> ( { X } X. { y } ) = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
13	12	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( x = ( { X } X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
14	10, 13	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( y = ( x ` X ) -> ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) <-> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) ) )
15	9, 14	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) ) )
16	15	imp 123	. . . . 5 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
17		fconst6g 5396	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
18	2	snex 4171	. . . . . . . . . 10 |- { X } e. _V
19	7, 18	elmap 6655	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
20	17, 19	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) )
21		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	fvconst2 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { X } -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
23	3, 22	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
24	23	eqcomd 2176	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
25	20, 24	jca 304	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
26		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) ) )
27		fveq1 5495	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x ` X ) = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
28	27	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( y = ( x ` X ) <-> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
29	26, 28	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) ) )
30	25, 29	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) ) )
31	30	imp 123	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
32	16, 31	impbii 125	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
33		mapsncnv.s	. . . . . . 7 |- S = { X }
34	33	oveq2i 5864	. . . . . 6 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
35	34	eleq2i 2237	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) <-> x e. ( B ^m { X } ) )
36	35	anbi1i 455	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
37	33	xpeq1i 4631	. . . . . 6 |- ( S X. { y } ) = ( { X } X. { y } )
38	37	eqeq2i 2181	. . . . 5 |- ( x = ( S X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { y } ) )
39	38	anbi2i 454	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
40	32, 36, 39	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) )
41	40	opabbii 4056	. 2 |- { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
42		mapsncnv.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
43		df-mpt 4052	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
44	42, 43	eqtri 2191	. . . 4 |- F = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
45	44	cnveqi 4786	. . 3 |- `' F = `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
46		cnvopab 5012	. . 3 |- `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
47	45, 46	eqtri 2191	. 2 |- `' F = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
48		df-mpt 4052	. 2 |- ( y e. B |-> ( S X. { y } ) ) = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
49	41, 47, 48	3eqtr4i 2201	1 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   {copab 4049   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628

This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  6674  mapsnf1o3  6675