Theorem mapsncnv 6805

Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsncnv	|- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, S, y   y, X

Allowed substitution hints:   F( x, y)   X( x)

Proof of Theorem mapsncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6780	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x : { X } --> B )
2		mapsncnv.x	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
3	2	snid 3674	. . . . . . . . 9 |- X e. { X }
4		ffvelcdm 5736	. . . . . . . . 9 |- ( ( x : { X } --> B /\ X e. { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
6		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- { X } = { X }
7		mapsncnv.b	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
8	6, 7, 2	mapsnconst 6804	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
9	5, 8	jca 306	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
10		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B <-> ( x ` X ) e. B ) )
11		sneq 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x ` X ) -> { y } = { ( x ` X ) } )
12	11	xpeq2d 4717	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x ` X ) -> ( { X } X. { y } ) = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
13	12	eqeq2d 2219	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( x = ( { X } X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( y = ( x ` X ) -> ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) <-> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) ) )
15	9, 14	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) ) )
16	15	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
17		fconst6g 5496	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
18	2	snex 4245	. . . . . . . . . 10 |- { X } e. _V
19	7, 18	elmap 6787	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
20	17, 19	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) )
21		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	fvconst2 5823	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { X } -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
23	3, 22	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
24	23	eqcomd 2213	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
25	20, 24	jca 306	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
26		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) ) )
27		fveq1 5598	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x ` X ) = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
28	27	eqeq2d 2219	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( y = ( x ` X ) <-> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) ) )
30	25, 29	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) ) )
31	30	imp 124	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
32	16, 31	impbii 126	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
33		mapsncnv.s	. . . . . . 7 |- S = { X }
34	33	oveq2i 5978	. . . . . 6 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
35	34	eleq2i 2274	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) <-> x e. ( B ^m { X } ) )
36	35	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
37	33	xpeq1i 4713	. . . . . 6 |- ( S X. { y } ) = ( { X } X. { y } )
38	37	eqeq2i 2218	. . . . 5 |- ( x = ( S X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { y } ) )
39	38	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
40	32, 36, 39	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) )
41	40	opabbii 4127	. 2 |- { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
42		mapsncnv.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
43		df-mpt 4123	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
44	42, 43	eqtri 2228	. . . 4 |- F = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
45	44	cnveqi 4871	. . 3 |- `' F = `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
46		cnvopab 5103	. . 3 |- `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
47	45, 46	eqtri 2228	. 2 |- `' F = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
48		df-mpt 4123	. 2 |- ( y e. B |-> ( S X. { y } ) ) = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
49	41, 47, 48	3eqtr4i 2238	1 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   {copab 4120   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-map 6760

This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  6806  mapsnf1o3  6807