Theorem mapsncnv 6685

Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsncnv	|- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, S, y   y, X

Allowed substitution hints:   F( x, y)   X( x)

Proof of Theorem mapsncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6660	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x : { X } --> B )
2		mapsncnv.x	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
3	2	snid 3620	. . . . . . . . 9 |- X e. { X }
4		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . 9 |- ( ( x : { X } --> B /\ X e. { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
6		eqid 2175	. . . . . . . . 9 |- { X } = { X }
7		mapsncnv.b	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
8	6, 7, 2	mapsnconst 6684	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
9	5, 8	jca 306	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
10		eleq1 2238	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B <-> ( x ` X ) e. B ) )
11		sneq 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x ` X ) -> { y } = { ( x ` X ) } )
12	11	xpeq2d 4644	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x ` X ) -> ( { X } X. { y } ) = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
13	12	eqeq2d 2187	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( x = ( { X } X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( y = ( x ` X ) -> ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) <-> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) ) )
15	9, 14	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) ) )
16	15	imp 124	. . . . 5 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
17		fconst6g 5406	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
18	2	snex 4180	. . . . . . . . . 10 |- { X } e. _V
19	7, 18	elmap 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
20	17, 19	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) )
21		vex 2738	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	fvconst2 5724	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { X } -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
23	3, 22	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
24	23	eqcomd 2181	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
25	20, 24	jca 306	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
26		eleq1 2238	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) ) )
27		fveq1 5506	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x ` X ) = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
28	27	eqeq2d 2187	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( y = ( x ` X ) <-> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) ) )
30	25, 29	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) ) )
31	30	imp 124	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
32	16, 31	impbii 126	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
33		mapsncnv.s	. . . . . . 7 |- S = { X }
34	33	oveq2i 5876	. . . . . 6 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
35	34	eleq2i 2242	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) <-> x e. ( B ^m { X } ) )
36	35	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
37	33	xpeq1i 4640	. . . . . 6 |- ( S X. { y } ) = ( { X } X. { y } )
38	37	eqeq2i 2186	. . . . 5 |- ( x = ( S X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { y } ) )
39	38	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
40	32, 36, 39	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) )
41	40	opabbii 4065	. 2 |- { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
42		mapsncnv.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
43		df-mpt 4061	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
44	42, 43	eqtri 2196	. . . 4 |- F = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
45	44	cnveqi 4795	. . 3 |- `' F = `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
46		cnvopab 5022	. . 3 |- `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
47	45, 46	eqtri 2196	. 2 |- `' F = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
48		df-mpt 4061	. 2 |- ( y e. B |-> ( S X. { y } ) ) = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
49	41, 47, 48	3eqtr4i 2206	1 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   {csn 3589   {copab 4058   |-> cmpt 4059   X. cxp 4618   `'ccnv 4619   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640

This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  6686  mapsnf1o3  6687