Theorem mapsncnv 6661

Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsncnv	|- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, S, y   y, X

Allowed substitution hints:   F( x, y)   X( x)

Proof of Theorem mapsncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6636	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x : { X } --> B )
2		mapsncnv.x	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
3	2	snid 3607	. . . . . . . . 9 |- X e. { X }
4		ffvelrn 5618	. . . . . . . . 9 |- ( ( x : { X } --> B /\ X e. { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
5	1, 3, 4	sylancl 410	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( x ` X ) e. B )
6		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- { X } = { X }
7		mapsncnv.b	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
8	6, 7, 2	mapsnconst 6660	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
9	5, 8	jca 304	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
10		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B <-> ( x ` X ) e. B ) )
11		sneq 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x ` X ) -> { y } = { ( x ` X ) } )
12	11	xpeq2d 4628	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x ` X ) -> ( { X } X. { y } ) = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) )
13	12	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x ` X ) -> ( x = ( { X } X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) )
14	10, 13	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( y = ( x ` X ) -> ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) <-> ( ( x ` X ) e. B /\ x = ( { X } X. { ( x ` X ) } ) ) ) )
15	9, 14	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( x e. ( B ^m { X } ) -> ( y = ( x ` X ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) ) )
16	15	imp 123	. . . . 5 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) -> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
17		fconst6g 5386	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
18	2	snex 4164	. . . . . . . . . 10 |- { X } e. _V
19	7, 18	elmap 6643	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) : { X } --> B )
20	17, 19	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) )
21		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	fvconst2 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { X } -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
23	3, 22	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) ` X ) = y )
24	23	eqcomd 2171	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
25	20, 24	jca 304	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
26		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) <-> ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) ) )
27		fveq1 5485	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x ` X ) = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) )
28	27	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( y = ( x ` X ) <-> y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) )
29	26, 28	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( ( { X } X. { y } ) e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( ( { X } X. { y } ) ` X ) ) ) )
30	25, 29	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( x = ( { X } X. { y } ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) ) )
31	30	imp 123	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) -> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
32	16, 31	impbii 125	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
33		mapsncnv.s	. . . . . . 7 |- S = { X }
34	33	oveq2i 5853	. . . . . 6 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
35	34	eleq2i 2233	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) <-> x e. ( B ^m { X } ) )
36	35	anbi1i 454	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( x e. ( B ^m { X } ) /\ y = ( x ` X ) ) )
37	33	xpeq1i 4624	. . . . . 6 |- ( S X. { y } ) = ( { X } X. { y } )
38	37	eqeq2i 2176	. . . . 5 |- ( x = ( S X. { y } ) <-> x = ( { X } X. { y } ) )
39	38	anbi2i 453	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( { X } X. { y } ) ) )
40	32, 36, 39	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) <-> ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) )
41	40	opabbii 4049	. 2 |- { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
42		mapsncnv.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
43		df-mpt 4045	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
44	42, 43	eqtri 2186	. . . 4 |- F = { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
45	44	cnveqi 4779	. . 3 |- `' F = `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
46		cnvopab 5005	. . 3 |- `' { <. x , y >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) } = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
47	45, 46	eqtri 2186	. 2 |- `' F = { <. y , x >. | ( x e. ( B ^m S ) /\ y = ( x ` X ) ) }
48		df-mpt 4045	. 2 |- ( y e. B |-> ( S X. { y } ) ) = { <. y , x >. | ( y e. B /\ x = ( S X. { y } ) ) }
49	41, 47, 48	3eqtr4i 2196	1 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   {copab 4042   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  6662  mapsnf1o3  6663