Theorem breq12d 4106

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	|- ( ph -> A = B )
breq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
breq12d	|- ( ph -> ( A R C <-> B R D ) )

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		breq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		breq12 4098	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> ( A R C <-> B R D ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A R C <-> B R D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   class class class wbr 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094

This theorem is referenced by:  breq123d  4107  3brtr3d  4124  3brtr4d  4125  pocl  4406  csbcnvg  4920  cnvpom  5286  sbcfung  5357  isoeq1  5952  isocnv  5962  isotr  5967  caovordig  6198  caovordg  6200  caovord2d  6202  caovord  6204  ofrfval  6253  ofrval  6255  ofrfval2  6261  caofref  6269  fundmeng  7025  xpsneng  7049  xpcomeng  7055  xpdom2g  7059  phplem3g  7085  php5  7087  php5dom  7092  exmidpw2en  7147  exmidapne  7539  nqtri3or  7676  ltsonq  7678  ltanqg  7680  ltmnqg  7681  lt2addnq  7684  lt2mulnq  7685  prarloclemarch  7698  ltrnqg  7700  ltnnnq  7703  prarloclemlt  7773  addlocprlemgt  7814  mullocprlem  7850  addextpr  7901  recexprlemss1l  7915  recexprlemss1u  7916  recexpr  7918  caucvgprlemcanl  7924  cauappcvgprlemm  7925  cauappcvgprlemdisj  7931  cauappcvgprlemloc  7932  cauappcvgprlemladdru  7936  cauappcvgprlemladdrl  7937  cauappcvgprlem1  7939  cauappcvgprlemlim  7941  cauappcvgpr  7942  caucvgprlemnkj  7946  caucvgprlemnbj  7947  caucvgprlemdisj  7954  caucvgprlemloc  7955  caucvgprlemcl  7956  caucvgprlemladdrl  7958  caucvgprlem1  7959  caucvgpr  7962  caucvgprprlemell  7965  caucvgprprlemcbv  7967  caucvgprprlemval  7968  caucvgprprlemnkeqj  7970  caucvgprprlemopl  7977  caucvgprprlemlol  7978  caucvgprprlemloc  7983  caucvgprprlemclphr  7985  caucvgprprlemexb  7987  caucvgprprlem1  7989  lttrsr  8042  ltposr  8043  ltsosr  8044  ltasrg  8050  aptisr  8059  mulextsr1lem  8060  mulextsr1  8061  caucvgsrlemcau  8073  caucvgsrlemgt1  8075  caucvgsrlemoffcau  8078  caucvgsrlemoffres  8080  caucvgsr  8082  axpre-ltirr  8162  axpre-ltadd  8166  axpre-mulgt0  8167  axpre-mulext  8168  axcaucvglemcau  8178  axcaucvglemres  8179  ltadd2  8658  ltadd1  8668  leadd2  8670  reapval  8815  reapmul1  8834  remulext2  8839  apreim  8842  apirr  8844  apsym  8845  apcotr  8846  apadd1  8847  apadd2  8848  apneg  8850  mulext1  8851  mulext2  8852  apti  8861  apsub1  8881  subap0  8882  apmul1  9027  apmul2  9028  apdivmuld  9052  ltmul2  9095  lemul2  9096  ltdiv1  9107  ltdiv2  9126  ledivdiv  9129  lediv2  9130  negiso  9194  div4p1lem1div2  9457  qapne  9934  nn0ledivnn  10063  xleadd1  10171  xltadd1  10172  xltadd2  10173  xsubge0  10177  xleaddadd  10183  qtri3or  10563  frecfzennn  10751  monoord  10810  monoord2  10811  leexp1a  10919  bernneq  10985  apexp1  11043  nn0le2msqd  11044  faclbnd  11066  faclbnd3  11068  faclbnd6  11069  facubnd  11070  fihashdom  11129  zfz1isolemiso  11166  cjap  11546  cvg1nlemcau  11624  cvg1nlemres  11625  resqrexlemlo  11653  resqrexlemcalc3  11656  absext  11703  xrnegiso  11902  xrminltinf  11912  fsumabs  12106  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratnnlemmn  12166  fprodle  12281  addmodlteqALT  12500  nn0seqcvgd  12693  algcvg  12700  algcvga  12703  eucalgcvga  12710  qnumgt0  12850  pcprendvds2  12944  pcpremul  12946  pcadd2  12994  2expltfac  13092  ctinfomlemom  13128  gsumfzval  13554  mplsubgfilemcl  14800  ispsmet  15134  psmettri2  15139  ismet  15155  isxmet  15156  xmettri2  15172  blvalps  15199  blval  15200  comet  15310  bdxmet  15312  dvef  15538  cxplt  15727  rpcxple2  15729  rpcxplt2  15730  cxplt3  15731  apcxp2  15750  ltexp2  15752  logbleb  15772  logblt  15773  pellexlem3  15793  lgsdilem  15846  2lgslem1a2  15906  apdifflemr  16779  apdiff  16780