Theorem cotr 5010

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4635	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧)}
2	1	relopabi 4752	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∘ 𝑅)
3		ssrel 4714	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ∘ 𝑅) → ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5		vex 2740	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2740	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7	5, 6	opelco 4799	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8		df-br 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11		19.23v 1883	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	albii 1470	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14		alcom 1478	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	13, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	15	albii 1470	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
17	4, 16	bitri 184	1 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-rel 4633  df-co 4635

This theorem is referenced by:  xpidtr  5019  trin2  5020  dfer2  6535