Theorem cotr 5118

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4734	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧)}
2	1	relopabi 4855	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∘ 𝑅)
3		ssrel 4814	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ∘ 𝑅) → ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5		vex 2805	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2805	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7	5, 6	opelco 4902	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8		df-br 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11		19.23v 1931	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	albii 1518	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14		alcom 1526	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	13, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	15	albii 1518	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
17	4, 16	bitri 184	1 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1395  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ∘ ccom 4729  Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-co 4734

This theorem is referenced by:  xpidtr  5127  trin2  5128  dfer2  6703