Theorem cotr 5048

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4669	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧)}
2	1	relopabi 4788	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∘ 𝑅)
3		ssrel 4748	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ∘ 𝑅) → ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5		vex 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7	5, 6	opelco 4835	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8		df-br 4031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11		19.23v 1894	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	albii 1481	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14		alcom 1489	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	13, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	15	albii 1481	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
17	4, 16	bitri 184	1 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030   ∘ ccom 4664  Rel wrel 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-co 4669

This theorem is referenced by:  xpidtr  5057  trin2  5058  dfer2  6590