Theorem cotr 5106

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4725	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧)}
2	1	relopabi 4844	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∘ 𝑅)
3		ssrel 4804	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ∘ 𝑅) → ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7	5, 6	opelco 4891	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
8		df-br 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑧)
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11		19.23v 1929	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	albii 1516	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14		alcom 1524	. . . 4 ⊢ (∀𝑧∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	13, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	15	albii 1516	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅 ∘ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
17	4, 16	bitri 184	1 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1393  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082   ∘ ccom 4720  Rel wrel 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-rel 4723  df-co 4725

This theorem is referenced by:  xpidtr  5115  trin2  5116  dfer2  6671