ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cotr GIF version

Theorem cotr 4800
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4437 . . . 4 (𝑅𝑅) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)}
21relopabi 4551 . . 3 Rel (𝑅𝑅)
3 ssrel 4514 . . 3 (Rel (𝑅𝑅) → ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
42, 3ax-mp 7 . 2 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
5 vex 2622 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
6 vex 2622 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
75, 6opelco 4596 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
8 df-br 3838 . . . . . . . 8 (𝑥𝑅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)
98bicomi 130 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅𝑥𝑅𝑧)
107, 9imbi12i 237 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11 19.23v 1811 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1210, 11bitr4i 185 . . . . 5 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1312albii 1404 . . . 4 (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14 alcom 1412 . . . 4 (∀𝑧𝑦((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1513, 14bitri 182 . . 3 (∀𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1615albii 1404 . 2 (∀𝑥𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑅𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
174, 16bitri 182 1 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287  wex 1426  wcel 1438  wss 2997  cop 3444   class class class wbr 3837  ccom 4432  Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-co 4437
This theorem is referenced by:  xpidtr  4809  trin2  4810  dfer2  6273
  Copyright terms: Public domain W3C validator