Theorem dedekindeulemlub 14856

Description: Lemma for dedekindeu 14859. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Distinct variable groups:   L, q, r, x, y, z   U, q, r, y, z   ph, q, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   U( x)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 |- ( ph -> L C_ RR )
2		dedekindeu.lm	. . 3 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3		eleq1w 2257	. . . . 5 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
4	3	cbvrexv 2730	. . . 4 |- ( E. q e. RR q e. L <-> E. x e. RR x e. L )
5		rexex 2543	. . . 4 |- ( E. x e. RR x e. L -> E. x x e. L )
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( E. q e. RR q e. L -> E. x x e. L )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. L )
8		dedekindeu.uss	. . 3 |- ( ph -> U C_ RR )
9		dedekindeu.um	. . 3 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
10		dedekindeu.lr	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
11		dedekindeu.ur	. . 3 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
12		dedekindeu.disj	. . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
13		dedekindeu.loc	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 14854	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. L y < x )
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 14855	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
16		axsuploc 8099	. 2 |- ( ( ( L C_ RR /\ E. x x e. L ) /\ ( E. x e. RR A. y e. L y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1250	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-suploc 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  14857