Theorem dedekindeulemlub 13392

Description: Lemma for dedekindeu 13395. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Distinct variable groups:   L, q, r, x, y, z   U, q, r, y, z   ph, q, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   U( x)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 |- ( ph -> L C_ RR )
2		dedekindeu.lm	. . 3 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3		eleq1w 2231	. . . . 5 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
4	3	cbvrexv 2697	. . . 4 |- ( E. q e. RR q e. L <-> E. x e. RR x e. L )
5		rexex 2516	. . . 4 |- ( E. x e. RR x e. L -> E. x x e. L )
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 |- ( E. q e. RR q e. L -> E. x x e. L )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. L )
8		dedekindeu.uss	. . 3 |- ( ph -> U C_ RR )
9		dedekindeu.um	. . 3 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
10		dedekindeu.lr	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
11		dedekindeu.ur	. . 3 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
12		dedekindeu.disj	. . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
13		dedekindeu.loc	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 13390	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. L y < x )
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 13391	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
16		axsuploc 7992	. 2 |- ( ( ( L C_ RR /\ E. x x e. L ) /\ ( E. x e. RR A. y e. L y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1234	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   RRcr 7773   < clt 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-suploc 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  13393