Theorem dedekindeulemlub 15207

Description: Lemma for dedekindeu 15210. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Distinct variable groups:   L, q, r, x, y, z   U, q, r, y, z   ph, q, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   U( x)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 |- ( ph -> L C_ RR )
2		dedekindeu.lm	. . 3 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3		eleq1w 2268	. . . . 5 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
4	3	cbvrexv 2743	. . . 4 |- ( E. q e. RR q e. L <-> E. x e. RR x e. L )
5		rexex 2554	. . . 4 |- ( E. x e. RR x e. L -> E. x x e. L )
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( E. q e. RR q e. L -> E. x x e. L )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. L )
8		dedekindeu.uss	. . 3 |- ( ph -> U C_ RR )
9		dedekindeu.um	. . 3 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
10		dedekindeu.lr	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
11		dedekindeu.ur	. . 3 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
12		dedekindeu.disj	. . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
13		dedekindeu.loc	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 15205	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. L y < x )
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 15206	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
16		axsuploc 8180	. 2 |- ( ( ( L C_ RR /\ E. x x e. L ) /\ ( E. x e. RR A. y e. L y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1251	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-suploc 8081

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  15208