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Theorem dedekindeulemloc 14258
Description: Lemma for dedekindeu 14262. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
dedekindeu.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
dedekindeu.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
dedekindeu.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
dedekindeu.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindeu.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindeu.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindeu.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemloc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
Distinct variable groups:    L, q, r, z    U, q, r, z    ph, q, x, y, z   
x, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    U( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem dedekindeulemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 4009 . . . . 5  |-  ( r  =  y  ->  (
x  <  r  <->  x  <  y ) )
2 eleq1w 2238 . . . . . 6  |-  ( r  =  y  ->  (
r  e.  U  <->  y  e.  U ) )
32orbi2d 790 . . . . 5  |-  ( r  =  y  ->  (
( x  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) )
41, 3imbi12d 234 . . . 4  |-  ( r  =  y  ->  (
( x  <  r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( x  <  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 4008 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
q  <  r  <->  x  <  r ) )
6 eleq1w 2238 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  x  ->  (
q  e.  L  <->  x  e.  L ) )
76orbi1d 791 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
85, 7imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( x  <  r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
98ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( q  =  x  ->  ( A. r  e.  RR  ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  A. r  e.  RR  ( x  < 
r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
10 dedekindeu.loc . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
1110adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
12 simprl 529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  x  e.  RR )
139, 11, 12rspcdva 2848 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR  ( x  <  r  -> 
( x  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
14 simprr 531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
154, 13, 14rspcdva 2848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U
) ) )
16 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  x  e.  L )
175rexbidv 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  x  ->  ( E. r  e.  L  q  <  r  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) )
186, 17bibi12d 235 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r )  <->  ( x  e.  L  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) ) )
19 dedekindeu.lr . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2112adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  x  e.  RR )
2218, 20, 21rspcdva 2848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  (
x  e.  L  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) )
2316, 22mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  E. r  e.  L  x  <  r )
24 breq2 4009 . . . . . . 7  |-  ( r  =  z  ->  (
x  <  r  <->  x  <  z ) )
2524cbvrexv 2706 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  L  x  <  r  <->  E. z  e.  L  x  <  z )
2623, 25sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  x  e.  L )  ->  E. z  e.  L  x  <  z )
2726ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  L  ->  E. z  e.  L  x  <  z ) )
28 dedekindeu.lss . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
2928ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  L  C_  RR )
30 dedekindeu.uss . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
3130ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  U  C_  RR )
32 dedekindeu.lm . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
3332ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
34 dedekindeu.um . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
3534ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
3619ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
37 dedekindeu.ur . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
39 dedekindeu.disj . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
4039ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
4110ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
42 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
4329, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42dedekindeulemuub 14256 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  y  e.  U )  ->  A. z  e.  L  z  <  y )
4443ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( y  e.  U  ->  A. z  e.  L  z  <  y ) )
4527, 44orim12d 786 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  L  \/  y  e.  U )  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
4615, 45syld 45 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
4746ralrimivva 2559 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    i^i cin 3130    C_ wss 3131   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   RRcr 7813    < clt 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-pre-ltwlin 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  14259
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