Theorem dedekindeulemloc 14939

Description: Lemma for dedekindeu 14943. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemloc	|- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Distinct variable groups:   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r, y

Allowed substitution hints:   ph( r)   U( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem dedekindeulemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2		eleq1w 2257	. . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
3	2	orbi2d 791	. . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
7	6	orbi1d 792	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
9	8	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10		dedekindeu.loc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> x e. RR )
13	9, 11, 12	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> y e. RR )
15	4, 13, 14	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
17	5	rexbidv 2498	. . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
18	6, 17	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19		dedekindeu.lr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
21	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. RR )
22	18, 20, 21	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
23	16, 22	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24		breq2 4038	. . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
25	24	cbvrexv 2730	. . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
26	23, 25	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28		dedekindeu.lss	. . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ RR )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> L C_ RR )
30		dedekindeu.uss	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ RR )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> U C_ RR )
32		dedekindeu.lm	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. RR q e. L )
34		dedekindeu.um	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. RR r e. U )
36	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
37		dedekindeu.ur	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
39		dedekindeu.disj	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
41	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
43	29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42	dedekindeulemuub 14937	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
44	43	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
45	27, 44	orim12d 787	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
46	15, 45	syld 45	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
47	46	ralrimivva 2579	1 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   class class class wbr 4034   RRcr 7895   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltwlin 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  14940