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Theorem dedekindeulemloc 14258
Description: Lemma for dedekindeu 14262. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss |- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss |- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemloc |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
Distinct variable groups:   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r, y
Allowed substitution hints:   ph( r)   U( x, y)   L( x, y)
Proof of Theorem dedekindeulemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 4009 . . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2 eleq1w 2238 . . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
32orbi2d 790 . . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
41, 3imbi12d 234 . . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5 breq1 4008 . . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
76orbi1d 791 . . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
85, 7imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
98ralbidv 2477 . . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10 dedekindeu.loc . . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
1110adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12 simprl 529 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> x e. RR )
139, 11, 12rspcdva 2848 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> y e. RR )
154, 13, 14rspcdva 2848 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
175rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
186, 17bibi12d 235 . . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19 dedekindeu.lr . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2112adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. RR )
2218, 20, 21rspcdva 2848 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
2316, 22mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24 breq2 4009 . . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
2524cbvrexv 2706 . . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
2623, 25sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
2726ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28 dedekindeu.lss . . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ RR )
2928ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> L C_ RR )
30 dedekindeu.uss . . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ RR )
3130ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> U C_ RR )
32 dedekindeu.lm . . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3332ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. RR q e. L )
34 dedekindeu.um . . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
3534ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. RR r e. U )
3619ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
37 dedekindeu.ur . . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
39 dedekindeu.disj . . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
4039ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
4110ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
42 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
4329, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42dedekindeulemuub 14256 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
4443ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
4527, 44orim12d 786 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
4615, 45syld 45 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
4746ralrimivva 2559 1 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3130   C_ wss 3131   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   RRcr 7813   < clt 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-pre-ltwlin 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  14259
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