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Theorem dedekindeulemloc 14501
Description: Lemma for dedekindeu 14505. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss |- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss |- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemloc |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
Distinct variable groups:   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r, y
Allowed substitution hints:   ph( r)   U( x, y)   L( x, y)
Proof of Theorem dedekindeulemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 4022 . . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2 eleq1w 2250 . . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
32orbi2d 791 . . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
41, 3imbi12d 234 . . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5 breq1 4021 . . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6 eleq1w 2250 . . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
76orbi1d 792 . . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
85, 7imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
98ralbidv 2490 . . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10 dedekindeu.loc . . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
1110adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12 simprl 529 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> x e. RR )
139, 11, 12rspcdva 2861 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A. r e. RR ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> y e. RR )
154, 13, 14rspcdva 2861 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
175rexbidv 2491 . . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
186, 17bibi12d 235 . . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19 dedekindeu.lr . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2112adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> x e. RR )
2218, 20, 21rspcdva 2861 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
2316, 22mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24 breq2 4022 . . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
2524cbvrexv 2719 . . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
2623, 25sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
2726ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28 dedekindeu.lss . . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ RR )
2928ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> L C_ RR )
30 dedekindeu.uss . . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ RR )
3130ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> U C_ RR )
32 dedekindeu.lm . . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3332ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. RR q e. L )
34 dedekindeu.um . . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
3534ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. RR r e. U )
3619ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
37 dedekindeu.ur . . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
39 dedekindeu.disj . . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
4039ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
4110ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
42 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
4329, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 42dedekindeulemuub 14499 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
4443ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
4527, 44orim12d 787 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
4615, 45syld 45 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
4746ralrimivva 2572 1 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   class class class wbr 4018   RRcr 7830   < clt 8012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-pre-ltwlin 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  14502
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