Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemlub GIF version

Theorem dedekindeulemlub 12826
 Description: Lemma for dedekindeu 12829. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemlub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐿 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemlub
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . 2 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
2 dedekindeu.lm . . 3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
3 eleq1w 2201 . . . . 5 (𝑞 = 𝑥 → (𝑞𝐿𝑥𝐿))
43cbvrexv 2659 . . . 4 (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐿)
5 rexex 2483 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐿 → ∃𝑥 𝑥𝐿)
64, 5sylbi 120 . . 3 (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿 → ∃𝑥 𝑥𝐿)
72, 6syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐿)
8 dedekindeu.uss . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
9 dedekindeu.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
10 dedekindeu.lr . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
11 dedekindeu.ur . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
12 dedekindeu.disj . . 3 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
13 dedekindeu.loc . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
141, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13dedekindeulemub 12824 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
151, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13dedekindeulemloc 12825 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
16 axsuploc 7881 . 2 (((𝐿 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐿) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐿 𝑦 < 𝑧)))
171, 7, 14, 15, 16syl22anc 1218 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐿 𝑦 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∩ cin 3076   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369   class class class wbr 3938  ℝcr 7663   < clt 7844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-suploc 7785 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-xp 4554  df-cnv 4556  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850 This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  12827
 Copyright terms: Public domain W3C validator