Theorem dedekindeulemlub 14502

Description: Lemma for dedekindeu 14505. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
2		dedekindeu.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
3		eleq1w 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	cbvrexv 2719	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐿)
5		rexex 2536	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
7	2, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
8		dedekindeu.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
10		dedekindeu.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
11		dedekindeu.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
12		dedekindeu.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
13		dedekindeu.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 14500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 14501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
16		axsuploc 8050	. 2 ⊢ (((𝐿 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1250	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ∩ cin 3143   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437   class class class wbr 4018  ℝcr 7830   < clt 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-suploc 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  14503