Theorem dedekindeulemlub 15611

Description: Lemma for dedekindeu 15614. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
2		dedekindeu.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
3		eleq1w 2295	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	cbvrexv 2781	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐿)
5		rexex 2590	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
7	2, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿)
8		dedekindeu.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
10		dedekindeu.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
11		dedekindeu.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
12		dedekindeu.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
13		dedekindeu.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 15610	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
16		axsuploc 8362	. 2 ⊢ (((𝐿 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1275	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐿 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-suploc 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  15612