Theorem axsuploc 8251

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum. Axiom for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-suploc 8152 with ordering on the extended reals.) (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
axsuploc	|- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem axsuploc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
2		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
4	3	an32s 570	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
5	4	ralbidva 2528	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A y < x <-> A. y e. A y <RR x ) )
6	5	rexbidva 2529	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A y < x <-> E. x e. RR A. y e. A y <RR x ) )
7		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> x e. RR )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
9		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
11		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
12		ssel2 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ z e. A ) -> z e. RR )
13	12	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
14	13	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
15		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < z <-> x <RR z ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( x < z <-> x <RR z ) )
17	16	rexbidva 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A x <RR z ) )
18		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> y e. RR )
19		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < y <-> z <RR y ) )
20	14, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( z < y <-> z <RR y ) )
21	20	ralbidva 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z <RR y ) )
22	17, 21	orbi12d 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
23	10, 22	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
24	23	ralbidva 2528	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
25	24	ralbidva 2528	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
26	6, 25	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) <-> ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) -> ( ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) <-> ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
28	27	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) <-> ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
29		ax-pre-suploc 8152	. . 3 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
30	28, 29	sylbi 121	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
31		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
32	1	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
33	31, 32, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
34	33	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x <RR y <-> x < y ) )
35	34	notbid 673	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x <RR y <-> -. x < y ) )
36	35	ralbidva 2528	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x <RR y <-> A. y e. A -. x < y ) )
37	8, 7, 2	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
38	37	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( y <RR x <-> y < x ) )
39		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
40	18, 14, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
41	40	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y <RR z <-> y < z ) )
42	41	rexbidva 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A y <RR z <-> E. z e. A y < z ) )
43	38, 42	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
44	43	ralbidva 2528	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
45	36, 44	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
46	45	rexbidva 2529	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
47	46	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
48	30, 47	mpbid 147	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   RRcr 8030   <RR cltrr 8035   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-suploc 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15343  suplociccreex  15347