ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axsuploc Unicode version

Theorem axsuploc 7857
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum. Axiom for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-suploc 7761 with ordering on the extended reals.) (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
axsuploc  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem axsuploc
StepHypRef Expression
1 ssel2 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
2 ltxrlt 7850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  <->  y 
<RR  x ) )
31, 2sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
43an32s 558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <  x  <->  y  <RR  x ) )
54ralbidva 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )
65rexbidva 2435 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )
7 simplr 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
8 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
9 ltxrlt 7850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  x 
<RR  y ) )
107, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  <->  x  <RR  y ) )
11 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
12 ssel2 3093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
1312adantlr 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
1413adantlr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
15 ltxrlt 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  <  z  <->  x 
<RR  z ) )
1611, 14, 15syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( x  <  z  <->  x  <RR  z ) )
1716rexbidva 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  <->  E. z  e.  A  x  <RR  z ) )
18 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
19 ltxrlt 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <  y  <->  z 
<RR  y ) )
2014, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( z  <  y  <->  z  <RR  y ) )
2120ralbidva 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  z  <  y  <->  A. z  e.  A  z  <RR  y ) )
2217, 21orbi12d 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
2310, 22imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )
2423ralbidva 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  -> 
( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  -> 
( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )
2524ralbidva 2434 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )
266, 25anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) ) )
2726adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A
)  ->  ( ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) ) )
2827pm5.32i 450 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )  <-> 
( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) ) )
29 ax-pre-suploc 7761 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
3028, 29sylbi 120 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
31 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
321adantlr 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
3331, 32, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  x  <RR  y ) )
3433bicomd 140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <RR  y  <->  x  <  y ) )
3534notbid 657 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <RR  y  <->  -.  x  <  y ) )
3635ralbidva 2434 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
378, 7, 2syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
3837bicomd 140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <RR  x  <-> 
y  <  x )
)
39 ltxrlt 7850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  <  z  <->  y 
<RR  z ) )
4018, 14, 39syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <  z  <->  y  <RR  z ) )
4140bicomd 140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <RR  z  <->  y  <  z
) )
4241rexbidva 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  y  <RR  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
4338, 42imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y 
<RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )  <->  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4443ralbidva 2434 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4536, 44anbi12d 465 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4645rexbidva 2435 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4746ad2antrr 480 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4830, 47mpbid 146 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    C_ wss 3072   class class class wbr 3933   RRcr 7639    <RR cltrr 7644    < clt 7820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-pre-suploc 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-ltxr 7825
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  12797  suplociccreex  12801
  Copyright terms: Public domain W3C validator