Theorem axsuploc 8144

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum. Axiom for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-suploc 8045 with ordering on the extended reals.) (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
axsuploc	|- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem axsuploc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
2		ltxrlt 8137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
4	3	an32s 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
5	4	ralbidva 2501	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A y < x <-> A. y e. A y <RR x ) )
6	5	rexbidva 2502	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A y < x <-> E. x e. RR A. y e. A y <RR x ) )
7		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> x e. RR )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
9		ltxrlt 8137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
11		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
12		ssel2 3187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ z e. A ) -> z e. RR )
13	12	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
14	13	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
15		ltxrlt 8137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < z <-> x <RR z ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( x < z <-> x <RR z ) )
17	16	rexbidva 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A x < z <-> E. z e. A x <RR z ) )
18		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> y e. RR )
19		ltxrlt 8137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < y <-> z <RR y ) )
20	14, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( z < y <-> z <RR y ) )
21	20	ralbidva 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A z < y <-> A. z e. A z <RR y ) )
22	17, 21	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) <-> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
23	10, 22	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
24	23	ralbidva 2501	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
25	24	ralbidva 2501	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) <-> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
26	6, 25	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) <-> ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) -> ( ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) <-> ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
28	27	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) <-> ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) )
29		ax-pre-suploc 8045	. . 3 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
30	28, 29	sylbi 121	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
31		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
32	1	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
33	31, 32, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
34	33	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x <RR y <-> x < y ) )
35	34	notbid 668	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x <RR y <-> -. x < y ) )
36	35	ralbidva 2501	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x <RR y <-> A. y e. A -. x < y ) )
37	8, 7, 2	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
38	37	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( y <RR x <-> y < x ) )
39		ltxrlt 8137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
40	18, 14, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
41	40	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y <RR z <-> y < z ) )
42	41	rexbidva 2502	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A y <RR z <-> E. z e. A y < z ) )
43	38, 42	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
44	43	ralbidva 2501	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
45	36, 44	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
46	45	rexbidva 2502	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
47	46	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
48	30, 47	mpbid 147	1 |- ( ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) /\ ( E. x e. RR A. y e. A y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   RRcr 7923   <RR cltrr 7928   < clt 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-suploc 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15034  suplociccreex  15038