Theorem dfrex2fin 6965

Description: Relationship between universal and existential quantifiers over a finite set. Remark in Section 2.2.1 of [Pierik], p. 8. Although Pierik does not mention the decidability condition explicitly, it does say "only finitely many x to check" which means there must be some way of checking each value of x. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfrex2fin	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> ( E. x e. A ph <-> -. A. x e. A -. ph ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem dfrex2fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finexdc 6964	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID E. x e. A ph )
2		dfrex2dc 2488	. 2 |- (DECID E. x e. A ph -> ( E. x e. A ph <-> -. A. x e. A -. ph ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> ( E. x e. A ph <-> -. A. x e. A -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   Fincfn 6800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803

This theorem is referenced by: (None)