Theorem infm 7003

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	|- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem infm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6840	. 2 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2		f1f 5483	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om --> A )
4		peano1 4643	. . . . 5 |- (/) e. om
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> (/) e. om )
6	3, 5	ffvelcdmd 5718	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f ` (/) ) e. A )
7		elex2 2788	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1922	1 |- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1515   e. wcel 2176   (/)c0 3460   class class class wbr 4045   omcom 4639   -->wf 5268   -1-1->wf1 5269   ` cfv 5272   ~<_ cdom 6828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fv 5280  df-dom 6831

This theorem is referenced by:  infn0  7004  inffiexmid  7005  inffinp1  12833  unbendc  12858