Theorem infm 7201

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	|- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem infm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7023	. 2 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2		f1f 5593	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om --> A )
4		peano1 4736	. . . . 5 |- (/) e. om
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> (/) e. om )
6	3, 5	ffvelcdmd 5835	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f ` (/) ) e. A )
7		elex2 2838	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1954	1 |- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   omcom 4732   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   ` cfv 5372   ~<_ cdom 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fv 5380  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  infn0  7202  inffiexmid  7203  inffinp1  13298  unbendc  13323