ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm Unicode version

Theorem infm 6805
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem infm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6650 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
2 f1f 5335 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
f : om --> A )
4 peano1 4515 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
54a1i 9 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  (/) 
e.  om )
63, 5ffvelrnd 5563 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
( f `  (/) )  e.  A )
7 elex2 2705 . . 3  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. x  x  e.  A )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  E. x  x  e.  A )
91, 8exlimddv 1871 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1469    e. wcel 1481   (/)c0 3367   class class class wbr 3936   omcom 4511   -->wf 5126   -1-1->wf1 5127   ` cfv 5130    ~<_ cdom 6640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fv 5138  df-dom 6643
This theorem is referenced by:  infn0  6806  inffiexmid  6807  inffinp1  11976
  Copyright terms: Public domain W3C validator