Theorem infm 6903

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	|- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem infm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6748	. 2 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2		f1f 5421	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om --> A )
4		peano1 4593	. . . . 5 |- (/) e. om
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> (/) e. om )
6	3, 5	ffvelcdmd 5652	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f ` (/) ) e. A )
7		elex2 2753	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1898	1 |- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   (/)c0 3422   class class class wbr 4003   omcom 4589   -->wf 5212   -1-1->wf1 5213   ` cfv 5216   ~<_ cdom 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fv 5224  df-dom 6741

This theorem is referenced by:  infn0  6904  inffiexmid  6905  inffinp1  12424  unbendc  12449