ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm Unicode version

Theorem infm 6766
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem infm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6611 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
2 f1f 5298 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
f : om --> A )
4 peano1 4478 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
54a1i 9 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  (/) 
e.  om )
63, 5ffvelrnd 5524 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
( f `  (/) )  e.  A )
7 elex2 2676 . . 3  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. x  x  e.  A )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  E. x  x  e.  A )
91, 8exlimddv 1854 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1453    e. wcel 1465   (/)c0 3333   class class class wbr 3899   omcom 4474   -->wf 5089   -1-1->wf1 5090   ` cfv 5093    ~<_ cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fv 5101  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  infn0  6767  inffiexmid  6768  inffinp1  11869
  Copyright terms: Public domain W3C validator