Theorem infm 7066

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	|- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem infm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6898	. 2 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2		f1f 5531	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om --> A )
4		peano1 4686	. . . . 5 |- (/) e. om
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> (/) e. om )
6	3, 5	ffvelcdmd 5771	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f ` (/) ) e. A )
7		elex2 2816	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1945	1 |- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   omcom 4682   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   ` cfv 5318   ~<_ cdom 6886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fv 5326  df-dom 6889

This theorem is referenced by:  infn0  7067  inffiexmid  7068  inffinp1  13000  unbendc  13025