ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infm Unicode version

Theorem infm 6903
Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infm  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem infm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6748 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
2 f1f 5421 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
32adantl 277 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
f : om --> A )
4 peano1 4593 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
54a1i 9 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  (/) 
e.  om )
63, 5ffvelcdmd 5652 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  -> 
( f `  (/) )  e.  A )
7 elex2 2753 . . 3  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. x  x  e.  A )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  f : om -1-1-> A )  ->  E. x  x  e.  A )
91, 8exlimddv 1898 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   E.wex 1492    e. wcel 2148   (/)c0 3422   class class class wbr 4003   omcom 4589   -->wf 5212   -1-1->wf1 5213   ` cfv 5216    ~<_ cdom 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fv 5224  df-dom 6741
This theorem is referenced by:  infn0  6904  inffiexmid  6905  inffinp1  12424  unbendc  12449
  Copyright terms: Public domain W3C validator