Theorem infm 6906

Description: An infinite set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infm	|- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem infm

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6751	. 2 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2		f1f 5423	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om --> A )
4		peano1 4595	. . . . 5 |- (/) e. om
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> (/) e. om )
6	3, 5	ffvelcdmd 5654	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f ` (/) ) e. A )
7		elex2 2755	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1898	1 |- ( om ~<_ A -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   omcom 4591   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215   ` cfv 5218   ~<_ cdom 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fv 5226  df-dom 6744

This theorem is referenced by:  infn0  6907  inffiexmid  6908  inffinp1  12432  unbendc  12457