Theorem djulcl 7052

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	|- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2750	. . 3 |- ( C e. A -> C e. _V )
2		0ex 4132	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	snid 3625	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
4		opelxpi 4660	. . . 4 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6		opeq2 3781	. . . 4 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
7		df-inl 7048	. . . 4 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5594	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10		elun1 3304	. . . 4 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7039	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2271	. 2 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2254	1 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   X. cxp 4626   ` cfv 5218   1oc1o 6412   ⊔ cdju 7038  inlcinl 7046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-dju 7039  df-inl 7048

This theorem is referenced by:  djulclb  7056  updjudhcoinlf  7081  omp1eomlem  7095  difinfsnlem  7100  difinfsn  7101  ctmlemr  7109  ctm  7110  ctssdclemn0  7111  ctssdccl  7112  fodju0  7147  exmidfodomrlemr  7203  exmidfodomrlemrALT  7204  subctctexmid  14835