Theorem djulcl 7355

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	|- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( C e. A -> C e. _V )
2		0ex 4242	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	snid 3725	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
4		opelxpi 4786	. . . 4 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6		opeq2 3889	. . . 4 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
7		df-inl 7351	. . . 4 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5758	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10		elun1 3390	. . . 4 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7342	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2328	. 2 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2311	1 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   (/)c0 3512   {csn 3694   <.cop 3697   X. cxp 4752   ` cfv 5357   1oc1o 6653   ⊔ cdju 7341  inlcinl 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-dju 7342  df-inl 7351

This theorem is referenced by:  djulclb  7359  updjudhcoinlf  7384  omp1eomlem  7398  difinfsnlem  7403  difinfsn  7404  ctmlemr  7412  ctm  7413  ctssdclemn0  7414  ctssdccl  7415  fodju0  7451  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  subctctexmid  16900