Theorem djulcl 7155

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	|- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2783	. . 3 |- ( C e. A -> C e. _V )
2		0ex 4172	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	snid 3664	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
4		opelxpi 4708	. . . 4 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6		opeq2 3820	. . . 4 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
7		df-inl 7151	. . . 4 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5657	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10		elun1 3340	. . . 4 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7142	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2299	. 2 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2282	1 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   (/)c0 3460   {csn 3633   <.cop 3636   X. cxp 4674   ` cfv 5272   1oc1o 6497   ⊔ cdju 7141  inlcinl 7149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-dju 7142  df-inl 7151

This theorem is referenced by:  djulclb  7159  updjudhcoinlf  7184  omp1eomlem  7198  difinfsnlem  7203  difinfsn  7204  ctmlemr  7212  ctm  7213  ctssdclemn0  7214  ctssdccl  7215  fodju0  7251  exmidfodomrlemr  7312  exmidfodomrlemrALT  7313  subctctexmid  15974