Theorem djulcl 7067

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulcl	|- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2762	. . 3 |- ( C e. A -> C e. _V )
2		0ex 4144	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	snid 3637	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
4		opelxpi 4672	. . . 4 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6		opeq2 3793	. . . 4 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
7		df-inl 7063	. . . 4 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
8	6, 7	fvmptg 5607	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10		elun1 3316	. . . 4 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12		df-dju 7054	. . 3 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
13	11, 12	eleqtrrdi 2282	. 2 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
14	9, 13	eqeltrd 2265	1 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2159   _Vcvv 2751   u. cun 3141   (/)c0 3436   {csn 3606   <.cop 3609   X. cxp 4638   ` cfv 5230   1oc1o 6427   ⊔ cdju 7053  inlcinl 7061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-dju 7054  df-inl 7063

This theorem is referenced by:  djulclb  7071  updjudhcoinlf  7096  omp1eomlem  7110  difinfsnlem  7115  difinfsn  7116  ctmlemr  7124  ctm  7125  ctssdclemn0  7126  ctssdccl  7127  fodju0  7162  exmidfodomrlemr  7218  exmidfodomrlemrALT  7219  subctctexmid  15134