Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 Unicode version

Theorem sumdc2 11041
Description: Alternate proof of sumdc 10568, without DV condition on  N ,  x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 10568). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc2.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc2.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc2  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, M    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x)    N( x)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2 sumdc2.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
3 eleq1 2145 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43dcbid 782 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  y  e.  A )
)
54rspccv 2709 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> DECID  y  e.  A ) )
6 exmiddc 778 . . . . . 6  |-  (DECID  y  e.  A  ->  ( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A )
)
75, 6syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
82, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
98decidr 11038 . . 3  |-  ( ph  ->  A DECIDin  (
ZZ>= `  M ) )
10 sumdc2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 uzdcinzz 11040 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  M ) DECIDin  ZZ )
131, 9, 12decidin 11039 . 2  |-  ( ph  ->  A DECIDin  ZZ )
14 sumdc2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
15 df-dcin 11036 . . 3  |-  ( A DECIDin  ZZ  <->  A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A )
16 nfv 1462 . . . . . 6  |-  F/ zDECID  N  e.  A
1716rspct 2705 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A 
<-> DECID  N  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) ) )
18 eleq1 2145 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  e.  A  <->  N  e.  A ) )
1918dcbid 782 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
2017, 19mpg 1381 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A
) )
2120com12 30 . . 3  |-  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2215, 21sylbi 119 . 2  |-  ( A DECIDin  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2313, 14, 22sylc 61 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    C_ wss 2984   ` cfv 4968   ZZcz 8645   ZZ>=cuz 8913   DECIDin wdcin 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-dcin 11036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator