Theorem sumdc2 15291

Description: Alternate proof of sumdc 11501, without disjoint variable condition on N , x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11501). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc2.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc2.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, M   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   N( x)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
2		sumdc2.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
3		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
5	4	rspccv 2861	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID y e. A ) )
6		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID y e. A -> ( y e. A \/ -. y e. A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
9	8	decidr 15288	. . 3 |- ( ph -> A DECIDin ( ZZ>= ` M ) )
10		sumdc2.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		uzdcinzz 15290	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
13	1, 9, 12	decidin 15289	. 2 |- ( ph -> A DECIDin ZZ )
14		sumdc2.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
15		df-dcin 15286	. . 3 |- ( A DECIDin ZZ <-> A. z e. ZZ DECID z e. A )
16		nfv 1539	. . . . . 6 |- F/ zDECID N e. A
17	16	rspct 2857	. . . . 5 |- ( A. z ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) ) )
18		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z e. A <-> N e. A ) )
19	18	dcbid 839	. . . . 5 |- ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) )
20	17, 19	mpg 1462	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) )
21	20	com12 30	. . 3 |- ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
22	15, 21	sylbi 121	. 2 |- ( A DECIDin ZZ -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
23	13, 14, 22	sylc 62	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ` cfv 5254   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   DECID_in wdcin 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-dcin 15286

This theorem is referenced by: (None)