Theorem sumdc2 15445

Description: Alternate proof of sumdc 11523, without disjoint variable condition on N , x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11523). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc2.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc2.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, M   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   N( x)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
2		sumdc2.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
3		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
5	4	rspccv 2865	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID y e. A ) )
6		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID y e. A -> ( y e. A \/ -. y e. A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
9	8	decidr 15442	. . 3 |- ( ph -> A DECIDin ( ZZ>= ` M ) )
10		sumdc2.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		uzdcinzz 15444	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
13	1, 9, 12	decidin 15443	. 2 |- ( ph -> A DECIDin ZZ )
14		sumdc2.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
15		df-dcin 15440	. . 3 |- ( A DECIDin ZZ <-> A. z e. ZZ DECID z e. A )
16		nfv 1542	. . . . . 6 |- F/ zDECID N e. A
17	16	rspct 2861	. . . . 5 |- ( A. z ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) ) )
18		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z e. A <-> N e. A ) )
19	18	dcbid 839	. . . . 5 |- ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) )
20	17, 19	mpg 1465	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) )
21	20	com12 30	. . 3 |- ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
22	15, 21	sylbi 121	. 2 |- ( A DECIDin ZZ -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
23	13, 14, 22	sylc 62	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   DECID_in wdcin 15439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-dcin 15440

This theorem is referenced by: (None)