Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 Unicode version

Theorem sumdc2 12933
Description: Alternate proof of sumdc 11095, without disjoint variable condition on  N ,  x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11095). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc2.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc2.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc2  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, M    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x)    N( x)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2 sumdc2.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
3 eleq1 2180 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43dcbid 808 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  y  e.  A )
)
54rspccv 2760 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> DECID  y  e.  A ) )
6 exmiddc 806 . . . . . 6  |-  (DECID  y  e.  A  ->  ( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A )
)
75, 6syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
82, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
98decidr 12930 . . 3  |-  ( ph  ->  A DECIDin  (
ZZ>= `  M ) )
10 sumdc2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 uzdcinzz 12932 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  M ) DECIDin  ZZ )
131, 9, 12decidin 12931 . 2  |-  ( ph  ->  A DECIDin  ZZ )
14 sumdc2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
15 df-dcin 12928 . . 3  |-  ( A DECIDin  ZZ  <->  A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A )
16 nfv 1493 . . . . . 6  |-  F/ zDECID  N  e.  A
1716rspct 2756 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A 
<-> DECID  N  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) ) )
18 eleq1 2180 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  e.  A  <->  N  e.  A ) )
1918dcbid 808 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
2017, 19mpg 1412 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A
) )
2120com12 30 . . 3  |-  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2215, 21sylbi 120 . 2  |-  ( A DECIDin  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2313, 14, 22sylc 62 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    C_ wss 3041   ` cfv 5093   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   DECIDin wdcin 12927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-dcin 12928
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator