Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 Unicode version

Theorem sumdc2 11654
Description: Alternate proof of sumdc 10743, without disjoint variable condition on  N ,  x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 10743). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc2.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc2.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc2  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, M    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x)    N( x)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2 sumdc2.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
3 eleq1 2150 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43dcbid 786 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  y  e.  A )
)
54rspccv 2719 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> DECID  y  e.  A ) )
6 exmiddc 782 . . . . . 6  |-  (DECID  y  e.  A  ->  ( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A )
)
75, 6syl6 33 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
82, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( y  e.  A  \/  -.  y  e.  A
) ) )
98decidr 11651 . . 3  |-  ( ph  ->  A DECIDin  (
ZZ>= `  M ) )
10 sumdc2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 uzdcinzz 11653 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  M ) DECIDin  ZZ )
131, 9, 12decidin 11652 . 2  |-  ( ph  ->  A DECIDin  ZZ )
14 sumdc2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
15 df-dcin 11649 . . 3  |-  ( A DECIDin  ZZ  <->  A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A )
16 nfv 1466 . . . . . 6  |-  F/ zDECID  N  e.  A
1716rspct 2715 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A 
<-> DECID  N  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) ) )
18 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  e.  A  <->  N  e.  A ) )
1918dcbid 786 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (DECID  z  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
2017, 19mpg 1385 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  -> DECID  N  e.  A
) )
2120com12 30 . . 3  |-  ( A. z  e.  ZZ DECID  z  e.  A  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2215, 21sylbi 119 . 2  |-  ( A DECIDin  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  e.  A ) )
2313, 14, 22sylc 61 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    C_ wss 2999   ` cfv 5015   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   DECIDin wdcin 11648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-dcin 11649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator