Theorem sumdc2 16163

Description: Alternate proof of sumdc 11869, without disjoint variable condition on N , x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11869). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc2.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc2.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, M   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   N( x)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
2		sumdc2.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
3		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
5	4	rspccv 2904	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID y e. A ) )
6		exmiddc 841	. . . . . 6 |- (DECID y e. A -> ( y e. A \/ -. y e. A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
9	8	decidr 16160	. . 3 |- ( ph -> A DECIDin ( ZZ>= ` M ) )
10		sumdc2.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		uzdcinzz 16162	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
13	1, 9, 12	decidin 16161	. 2 |- ( ph -> A DECIDin ZZ )
14		sumdc2.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
15		df-dcin 16158	. . 3 |- ( A DECIDin ZZ <-> A. z e. ZZ DECID z e. A )
16		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ zDECID N e. A
17	16	rspct 2900	. . . . 5 |- ( A. z ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) ) )
18		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z e. A <-> N e. A ) )
19	18	dcbid 843	. . . . 5 |- ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) )
20	17, 19	mpg 1497	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) )
21	20	com12 30	. . 3 |- ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
22	15, 21	sylbi 121	. 2 |- ( A DECIDin ZZ -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
23	13, 14, 22	sylc 62	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   DECID_in wdcin 16157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-dcin 16158

This theorem is referenced by: (None)