Theorem sumdc2 16517

Description: Alternate proof of sumdc 11998, without disjoint variable condition on N , x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11998). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc2.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc2.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, M   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   N( x)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
2		sumdc2.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
3		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
5	4	rspccv 2908	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID y e. A ) )
6		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID y e. A -> ( y e. A \/ -. y e. A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
9	8	decidr 16514	. . 3 |- ( ph -> A DECIDin ( ZZ>= ` M ) )
10		sumdc2.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		uzdcinzz 16516	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
13	1, 9, 12	decidin 16515	. 2 |- ( ph -> A DECIDin ZZ )
14		sumdc2.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
15		df-dcin 16512	. . 3 |- ( A DECIDin ZZ <-> A. z e. ZZ DECID z e. A )
16		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ zDECID N e. A
17	16	rspct 2904	. . . . 5 |- ( A. z ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) ) )
18		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z e. A <-> N e. A ) )
19	18	dcbid 846	. . . . 5 |- ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) )
20	17, 19	mpg 1500	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) )
21	20	com12 30	. . 3 |- ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
22	15, 21	sylbi 121	. 2 |- ( A DECIDin ZZ -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
23	13, 14, 22	sylc 62	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   DECID_in wdcin 16511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-dcin 16512

This theorem is referenced by: (None)