Theorem sumdc2 14091

Description: Alternate proof of sumdc 11332, without disjoint variable condition on N , x (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11332). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc2.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc2.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, M   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   N( x)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
2		sumdc2.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
3		eleq1 2238	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	dcbid 838	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (DECID x e. A <-> DECID y e. A ) )
5	4	rspccv 2836	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID y e. A ) )
6		exmiddc 836	. . . . . 6 |- (DECID y e. A -> ( y e. A \/ -. y e. A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y e. A \/ -. y e. A ) ) )
9	8	decidr 14088	. . 3 |- ( ph -> A DECIDin ( ZZ>= ` M ) )
10		sumdc2.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		uzdcinzz 14090	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )
13	1, 9, 12	decidin 14089	. 2 |- ( ph -> A DECIDin ZZ )
14		sumdc2.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
15		df-dcin 14086	. . 3 |- ( A DECIDin ZZ <-> A. z e. ZZ DECID z e. A )
16		nfv 1526	. . . . . 6 |- F/ zDECID N e. A
17	16	rspct 2832	. . . . 5 |- ( A. z ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) ) )
18		eleq1 2238	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z e. A <-> N e. A ) )
19	18	dcbid 838	. . . . 5 |- ( z = N -> (DECID z e. A <-> DECID N e. A ) )
20	17, 19	mpg 1449	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> DECID N e. A ) )
21	20	com12 30	. . 3 |- ( A. z e. ZZ DECID z e. A -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
22	15, 21	sylbi 121	. 2 |- ( A DECIDin ZZ -> ( N e. ZZ -> DECID N e. A ) )
23	13, 14, 22	sylc 62	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   C_ wss 3127   ` cfv 5208   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   DECID_in wdcin 14085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-dcin 14086

This theorem is referenced by: (None)