Theorem djucllem 15530

Description: Lemma for djulcl 7126 and djurcl 7127. (Contributed by BJ, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djucllem.1	⊢ 𝑋 ∈ V
djucllem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨𝑋, 𝑥⟩)

Assertion

Ref	Expression
djucllem	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) ∈ ({𝑋} × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem djucllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		elex 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		djucllem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
4	3	snid 3654	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋}
5		opelxpi 4696	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝐴⟩ ∈ ({𝑋} × 𝐵))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨𝑋, 𝐴⟩ ∈ ({𝑋} × 𝐵))
7		opeq2 3810	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑋, 𝑥⟩ = ⟨𝑋, 𝐴⟩)
8		djucllem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨𝑋, 𝑥⟩)
9	7, 8	fvmptg 5640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝐴⟩ ∈ ({𝑋} × 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) = ⟨𝑋, 𝐴⟩)
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) = ⟨𝑋, 𝐴⟩)
11	1, 10	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = ⟨𝑋, 𝐴⟩)
12	11, 6	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) ∈ ({𝑋} × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  ⟨cop 3626   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662   ↾ cres 4666  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  djulclALT  15531  djurclALT  15532