Theorem djulclr 6934

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulclr	|- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulclr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5445	. 2 |- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) = (inl ` C ) )
2		elex 2697	. . . 4 |- ( C e. A -> C e. _V )
3		0ex 4055	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3556	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5		opelxpi 4571	. . . . 5 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
7		opeq2 3706	. . . . 5 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
8		df-inl 6932	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5497	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 408	. . 3 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
11		elun1 3243	. . . . 5 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12	6, 11	syl 14	. . . 4 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
13		df-dju 6923	. . . 4 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
14	12, 13	eleqtrrdi 2233	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
15	10, 14	eqeltrd 2216	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )
16	1, 15	eqeltrd 2216	1 |- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   X. cxp 4537   |` cres 4541   ` cfv 5123   1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-dju 6923  df-inl 6932

This theorem is referenced by:  inlresf1  6946