Theorem djulclr 7005

Description: Left closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulclr	|- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djulclr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5504	. 2 |- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) = (inl ` C ) )
2		elex 2732	. . . 4 |- ( C e. A -> C e. _V )
3		0ex 4103	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3601	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5		opelxpi 4630	. . . . 5 |- ( ( (/) e. { (/) } /\ C e. A ) -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) )
7		opeq2 3753	. . . . 5 |- ( x = C -> <. (/) , x >. = <. (/) , C >. )
8		df-inl 7003	. . . . 5 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5556	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) ) -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 409	. . 3 |- ( C e. A -> (inl ` C ) = <. (/) , C >. )
11		elun1 3284	. . . . 5 |- ( <. (/) , C >. e. ( { (/) } X. A ) -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12	6, 11	syl 14	. . . 4 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
13		df-dju 6994	. . . 4 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
14	12, 13	eleqtrrdi 2258	. . 3 |- ( C e. A -> <. (/) , C >. e. ( A ⊔ B ) )
15	10, 14	eqeltrd 2241	. 2 |- ( C e. A -> (inl ` C ) e. ( A ⊔ B ) )
16	1, 15	eqeltrd 2241	1 |- ( C e. A -> ( (inl |` A ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   (/)c0 3404   {csn 3570   <.cop 3573   X. cxp 4596   |` cres 4600   ` cfv 5182   1oc1o 6368   ⊔ cdju 6993  inlcinl 7001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-res 4610  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-dju 6994  df-inl 7003

This theorem is referenced by:  inlresf1  7017