Theorem djurclr 7178

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurclr	|- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurclr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5623	. 2 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) = (inr ` C ) )
2		elex 2788	. . . 4 |- ( C e. B -> C e. _V )
3		1oex 6533	. . . . . 6 |- 1o e. _V
4	3	snid 3674	. . . . 5 |- 1o e. { 1o }
5		opelxpi 4725	. . . . 5 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ C e. B ) -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
7		opeq2 3834	. . . . 5 |- ( x = C -> <. 1o , x >. = <. 1o , C >. )
8		df-inr 7176	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5678	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) ) -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( C e. B -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
11		elun2 3349	. . . . 5 |- ( <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12	6, 11	syl 14	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
13		df-dju 7166	. . . 4 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
14	12, 13	eleqtrrdi 2301	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( A ⊔ B ) )
15	10, 14	eqeltrd 2284	. 2 |- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )
16	1, 15	eqeltrd 2284	1 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   X. cxp 4691   |` cres 4695   ` cfv 5290   1oc1o 6518   ⊔ cdju 7165  inrcinr 7174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-1o 6525  df-dju 7166  df-inr 7176

This theorem is referenced by:  inrresf1  7190