Theorem djurclr 7052

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurclr	|- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurclr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5541	. 2 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) = (inr ` C ) )
2		elex 2750	. . . 4 |- ( C e. B -> C e. _V )
3		1oex 6428	. . . . . 6 |- 1o e. _V
4	3	snid 3625	. . . . 5 |- 1o e. { 1o }
5		opelxpi 4660	. . . . 5 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ C e. B ) -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
7		opeq2 3781	. . . . 5 |- ( x = C -> <. 1o , x >. = <. 1o , C >. )
8		df-inr 7050	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5595	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) ) -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( C e. B -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
11		elun2 3305	. . . . 5 |- ( <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12	6, 11	syl 14	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
13		df-dju 7040	. . . 4 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
14	12, 13	eleqtrrdi 2271	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( A ⊔ B ) )
15	10, 14	eqeltrd 2254	. 2 |- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )
16	1, 15	eqeltrd 2254	1 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   X. cxp 4626   |` cres 4630   ` cfv 5218   1oc1o 6413   ⊔ cdju 7039  inrcinr 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-1o 6420  df-dju 7040  df-inr 7050

This theorem is referenced by:  inrresf1  7064