Theorem djurclr 7109

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurclr	|- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djurclr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5578	. 2 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) = (inr ` C ) )
2		elex 2771	. . . 4 |- ( C e. B -> C e. _V )
3		1oex 6477	. . . . . 6 |- 1o e. _V
4	3	snid 3649	. . . . 5 |- 1o e. { 1o }
5		opelxpi 4691	. . . . 5 |- ( ( 1o e. { 1o } /\ C e. B ) -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) )
7		opeq2 3805	. . . . 5 |- ( x = C -> <. 1o , x >. = <. 1o , C >. )
8		df-inr 7107	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
9	7, 8	fvmptg 5633	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) ) -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
10	2, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( C e. B -> (inr ` C ) = <. 1o , C >. )
11		elun2 3327	. . . . 5 |- ( <. 1o , C >. e. ( { 1o } X. B ) -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
12	6, 11	syl 14	. . . 4 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) )
13		df-dju 7097	. . . 4 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
14	12, 13	eleqtrrdi 2287	. . 3 |- ( C e. B -> <. 1o , C >. e. ( A ⊔ B ) )
15	10, 14	eqeltrd 2270	. 2 |- ( C e. B -> (inr ` C ) e. ( A ⊔ B ) )
16	1, 15	eqeltrd 2270	1 |- ( C e. B -> ( (inr |` B ) ` C ) e. ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   X. cxp 4657   |` cres 4661   ` cfv 5254   1oc1o 6462   ⊔ cdju 7096  inrcinr 7105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-1o 6469  df-dju 7097  df-inr 7107

This theorem is referenced by:  inrresf1  7121