Theorem inlresf1 7120

Description: The left injection restricted to the left class of a disjoint union is an injective function from the left class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inlresf1	|- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )

Proof of Theorem inlresf1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7115	. 2 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		djulclr 7108	. 2 |- ( x e. A -> ( (inl |` A ) ` x ) e. ( A ⊔ B ) )
3	1, 2	inresflem 7119	1 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )

Syntax hints:   (/)c0 3446   |` cres 4661   -1-1->wf1 5251   ⊔ cdju 7096  inlcinl 7104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-dju 7097  df-inl 7106

This theorem is referenced by:  updjudhcoinlf  7139  updjud  7141  caserel  7146  djudom  7152  difinfsn  7159  djufun  7163  djuinj  7165  djudoml  7279