Theorem inlresf1 7089

Description: The left injection restricted to the left class of a disjoint union is an injective function from the left class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inlresf1	|- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )

Proof of Theorem inlresf1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7084	. 2 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		djulclr 7077	. 2 |- ( x e. A -> ( (inl |` A ) ` x ) e. ( A ⊔ B ) )
3	1, 2	inresflem 7088	1 |- (inl |` A ) : A -1-1-> ( A ⊔ B )

Syntax hints:   (/)c0 3437   |` cres 4646   -1-1->wf1 5232   ⊔ cdju 7065  inlcinl 7073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-dju 7066  df-inl 7075

This theorem is referenced by:  updjudhcoinlf  7108  updjud  7110  caserel  7115  djudom  7121  difinfsn  7128  djufun  7132  djuinj  7134  djudoml  7247