ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelem1 Unicode version

Theorem ennnfonelem1 12147
Description: Lemma for ennnfone 12165. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelem1  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  { <. (/)
,  ( F `  (/) ) >. } )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    x, H, y    j, J    x, N, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemh.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
3 ennnfonelemh.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
4 ennnfonelemh.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
5 ennnfonelemh.n . . . 4  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
6 ennnfonelemh.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
7 ennnfonelemh.h . . . 4  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
8 0nn0 9105 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9ennnfonelemp1 12146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  (
0  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  0 ) )  e.  ( F
" ( `' N `  0 ) ) ,  ( H ` 
0 ) ,  ( ( H `  0
)  u.  { <. dom  ( H `  0
) ,  ( F `
 ( `' N `  0 ) )
>. } ) ) )
11 1e0p1 9336 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211fveq2i 5471 . . . . 5  |-  ( H `
 1 )  =  ( H `  (
0  +  1 ) )
1312eqcomi 2161 . . . 4  |-  ( H `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( H `  1
)
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  (
0  +  1 ) )  =  ( H `
 1 ) )
15 0zd 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
1615, 5frec2uz0d 10298 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( N `  (/) )  =  0 )
1716mptru 1344 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 (/) )  =  0
1815, 5frec2uzf1od 10305 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )
)
1918mptru 1344 . . . . . . . . 9  |-  N : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )
20 peano1 4553 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
21 0z 9178 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
22 uzid 9453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
24 f1ocnvfvb 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )  /\  (/)  e.  om  /\  0  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  -> 
( ( N `  (/) )  =  0  <->  ( `' N `  0 )  =  (/) ) )
2519, 20, 23, 24mp3an 1319 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  (/) )  =  0  <->  ( `' N `  0 )  =  (/) )
2617, 25mpbi 144 . . . . . . 7  |-  ( `' N `  0 )  =  (/)
2726fveq2i 5471 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( `' N `  0 ) )  =  ( F `  (/) )
2826imaeq2i 4926 . . . . . 6  |-  ( F
" ( `' N `  0 ) )  =  ( F " (/) )
2927, 28eleq12i 2225 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( `' N `  0 ) )  e.  ( F
" ( `' N `  0 ) )  <-> 
( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) )
3029a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( `' N `  0 ) )  e.  ( F
" ( `' N `  0 ) )  <-> 
( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelem0 12145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  0
)  =  (/) )
3231dmeqd 4788 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( H ` 
0 )  =  dom  (/) )
3327a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( `' N `  0 ) )  =  ( F `
 (/) ) )
3432, 33opeq12d 3749 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. dom  ( H ` 
0 ) ,  ( F `  ( `' N `  0 ) ) >.  =  <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. )
3534sneqd 3573 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. dom  ( H `  0 ) ,  ( F `  ( `' N `  0 ) ) >. }  =  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. } )
3631, 35uneq12d 3262 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H ` 
0 )  u.  { <. dom  ( H ` 
0 ) ,  ( F `  ( `' N `  0 ) ) >. } )  =  ( (/)  u.  { <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. } ) )
3730, 31, 36ifbieq12d 3531 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 ( `' N `  0 ) )  e.  ( F "
( `' N ` 
0 ) ) ,  ( H `  0
) ,  ( ( H `  0 )  u.  { <. dom  ( H `  0 ) ,  ( F `  ( `' N `  0 ) ) >. } ) )  =  if ( ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) ,  (/) ,  ( (/)  u.  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. } ) ) )
3810, 14, 373eqtr3d 2198 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  if ( ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) ,  (/) ,  ( (/)  u.  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. } ) ) )
39 noel 3398 . . . . 5  |-  -.  ( F `  (/) )  e.  (/)
40 ima0 4945 . . . . . 6  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
4140eleq2i 2224 . . . . 5  |-  ( ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) )  <->  ( F `  (/) )  e.  (/) )
4239, 41mtbir 661 . . . 4  |-  -.  ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) )
4342iffalsei 3514 . . 3  |-  if ( ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) ,  (/) ,  ( (/)  u.  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. } ) )  =  ( (/)  u. 
{ <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. } )
44 uncom 3251 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
{ <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. } )  =  ( { <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. }  u.  (/) )
45 un0 3427 . . . 4  |-  ( {
<. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. }  u.  (/) )  =  { <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. }
4644, 45eqtri 2178 . . 3  |-  ( (/)  u. 
{ <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. } )  =  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. }
47 dm0 4800 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
4847opeq1i 3744 . . . 4  |-  <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >.  =  <. (/) ,  ( F `
 (/) ) >.
4948sneqi 3572 . . 3  |-  { <. dom  (/) ,  ( F `  (/) ) >. }  =  { <.
(/) ,  ( F `  (/) ) >. }
5043, 46, 493eqtri 2182 . 2  |-  if ( ( F `  (/) )  e.  ( F " (/) ) ,  (/) ,  ( (/)  u.  { <. dom  (/) ,  ( F `
 (/) ) >. } ) )  =  { <. (/)
,  ( F `  (/) ) >. }
5138, 50eqtrdi 2206 1  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  { <. (/)
,  ( F `  (/) ) >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104  DECID wdc 820    = wceq 1335   T. wtru 1336    e. wcel 2128    =/= wne 2327   A.wral 2435   E.wrex 2436    u. cun 3100   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   <.cop 3563    |-> cmpt 4025   suc csuc 4325   omcom 4549   `'ccnv 4585   dom cdm 4586   "cima 4589   -onto->wfo 5168   -1-1-onto->wf1o 5169   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    e. cmpo 5826  freccfrec 6337    ^pm cpm 6594   0cc0 7732   1c1 7733    + caddc 7735    - cmin 8046   NN0cn0 9090   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439    seqcseq 10344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pm 6596  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345
This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12155
  Copyright terms: Public domain W3C validator