Theorem ennnfonelem1 11956

Description: Lemma for ennnfone 11974. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	|- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
8		0nn0 9016	. . . . 5 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 11955	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) )
11		1e0p1 9247	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
12	11	fveq2i 5432	. . . . 5 |- ( H ` 1 ) = ( H ` ( 0 + 1 ) )
13	12	eqcomi 2144	. . . 4 |- ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 ) )
15		0zd 9090	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
16	15, 5	frec2uz0d 10203	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
17	16	mptru 1341	. . . . . . . 8 |- ( N ` (/) ) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10210	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	mptru 1341	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
20		peano1 4516	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		0z 9089	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
22		uzid 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
24		f1ocnvfvb 5689	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om /\ 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1316	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) )
26	17, 25	mpbi 144	. . . . . . 7 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
27	26	fveq2i 5432	. . . . . 6 |- ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
28	26	imaeq2i 4887	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
29	27, 28	eleq12i 2208	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) )
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 11954	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
32	31	dmeqd 4749	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) ) )
34	32, 33	opeq12d 3721	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. = <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. )
35	34	sneqd 3545	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
36	31, 35	uneq12d 3236	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) )
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3503	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2181	. 2 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
39		noel 3372	. . . . 5 |- -. ( F ` (/) ) e. (/)
40		ima0 4906	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) = (/)
41	40	eleq2i 2207	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) <-> ( F ` (/) ) e. (/) )
42	39, 41	mtbir 661	. . . 4 |- -. ( F ` (/) ) e. ( F " (/) )
43	42	iffalsei 3488	. . 3 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
44		uncom 3225	. . . 4 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) )
45		un0 3401	. . . 4 |- ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
46	44, 45	eqtri 2161	. . 3 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
47		dm0 4761	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
48	47	opeq1i 3716	. . . 4 |- <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. = <. (/) , ( F ` (/) ) >.
49	48	sneqi 3544	. . 3 |- { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
50	43, 46, 49	3eqtri 2165	. 2 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
51	38, 50	eqtrdi 2189	1 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   T. wtru 1333   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   E.wrex 2418   u. cun 3074   (/)c0 3368   ifcif 3479   {csn 3532   <.cop 3535   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   "cima 4550   -onto->wfo 5129   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784  freccfrec 6295   ^pm cpm 6551   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pm 6553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  11964