Theorem ennnfonelem1 11920

Description: Lemma for ennnfone 11938. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	|- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
8		0nn0 8992	. . . . 5 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 11919	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) )
11		1e0p1 9223	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
12	11	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( H ` 1 ) = ( H ` ( 0 + 1 ) )
13	12	eqcomi 2143	. . . 4 |- ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 ) )
15		0zd 9066	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
16	15, 5	frec2uz0d 10172	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
17	16	mptru 1340	. . . . . . . 8 |- ( N ` (/) ) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10179	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	mptru 1340	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
20		peano1 4508	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		0z 9065	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
22		uzid 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
24		f1ocnvfvb 5681	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om /\ 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1315	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) )
26	17, 25	mpbi 144	. . . . . . 7 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
27	26	fveq2i 5424	. . . . . 6 |- ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
28	26	imaeq2i 4879	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
29	27, 28	eleq12i 2207	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) )
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 11918	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
32	31	dmeqd 4741	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) ) )
34	32, 33	opeq12d 3713	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. = <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. )
35	34	sneqd 3540	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
36	31, 35	uneq12d 3231	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) )
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3498	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2180	. 2 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
39		noel 3367	. . . . 5 |- -. ( F ` (/) ) e. (/)
40		ima0 4898	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) = (/)
41	40	eleq2i 2206	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) <-> ( F ` (/) ) e. (/) )
42	39, 41	mtbir 660	. . . 4 |- -. ( F ` (/) ) e. ( F " (/) )
43	42	iffalsei 3483	. . 3 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
44		uncom 3220	. . . 4 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) )
45		un0 3396	. . . 4 |- ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
46	44, 45	eqtri 2160	. . 3 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
47		dm0 4753	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
48	47	opeq1i 3708	. . . 4 |- <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. = <. (/) , ( F ` (/) ) >.
49	48	sneqi 3539	. . 3 |- { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
50	43, 46, 49	3eqtri 2164	. 2 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
51	38, 50	syl6eq 2188	1 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   T. wtru 1332   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  11928