Theorem ennnfonelem1 13027

Description: Lemma for ennnfone 13045. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	|- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
8		0nn0 9416	. . . . 5 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 13026	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) )
11		1e0p1 9651	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
12	11	fveq2i 5642	. . . . 5 |- ( H ` 1 ) = ( H ` ( 0 + 1 ) )
13	12	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 ) )
15		0zd 9490	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
16	15, 5	frec2uz0d 10660	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
17	16	mptru 1406	. . . . . . . 8 |- ( N ` (/) ) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10667	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	mptru 1406	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
20		peano1 4692	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		0z 9489	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
22		uzid 9769	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
24		f1ocnvfvb 5920	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om /\ 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1373	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) )
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
27	26	fveq2i 5642	. . . . . 6 |- ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
28	26	imaeq2i 5074	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
29	27, 28	eleq12i 2299	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) )
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 13025	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
32	31	dmeqd 4933	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) ) )
34	32, 33	opeq12d 3870	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. = <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. )
35	34	sneqd 3682	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
36	31, 35	uneq12d 3362	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) )
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3632	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2272	. 2 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
39		noel 3498	. . . . 5 |- -. ( F ` (/) ) e. (/)
40		ima0 5095	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) = (/)
41	40	eleq2i 2298	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) <-> ( F ` (/) ) e. (/) )
42	39, 41	mtbir 677	. . . 4 |- -. ( F ` (/) ) e. ( F " (/) )
43	42	iffalsei 3614	. . 3 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
44		uncom 3351	. . . 4 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) )
45		un0 3528	. . . 4 |- ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
46	44, 45	eqtri 2252	. . 3 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
47		dm0 4945	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
48	47	opeq1i 3865	. . . 4 |- <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. = <. (/) , ( F ` (/) ) >.
49	48	sneqi 3681	. . 3 |- { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
50	43, 46, 49	3eqtri 2256	. 2 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
51	38, 50	eqtrdi 2280	1 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   u. cun 3198   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   "cima 4728   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019  freccfrec 6555   ^pm cpm 6817   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pm 6819  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  13035