Theorem ennnfonelem1 12564

Description: Lemma for ennnfone 12582. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	|- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
8		0nn0 9255	. . . . 5 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 12563	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) )
11		1e0p1 9489	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
12	11	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( H ` 1 ) = ( H ` ( 0 + 1 ) )
13	12	eqcomi 2197	. . . 4 |- ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 ) )
15		0zd 9329	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
16	15, 5	frec2uz0d 10470	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
17	16	mptru 1373	. . . . . . . 8 |- ( N ` (/) ) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10477	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	mptru 1373	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
20		peano1 4626	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		0z 9328	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
22		uzid 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
24		f1ocnvfvb 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om /\ 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1348	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) )
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
27	26	fveq2i 5557	. . . . . 6 |- ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
28	26	imaeq2i 5003	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
29	27, 28	eleq12i 2261	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) )
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 12562	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
32	31	dmeqd 4864	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) ) )
34	32, 33	opeq12d 3812	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. = <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. )
35	34	sneqd 3631	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
36	31, 35	uneq12d 3314	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) )
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3583	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2234	. 2 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
39		noel 3450	. . . . 5 |- -. ( F ` (/) ) e. (/)
40		ima0 5024	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) = (/)
41	40	eleq2i 2260	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) <-> ( F ` (/) ) e. (/) )
42	39, 41	mtbir 672	. . . 4 |- -. ( F ` (/) ) e. ( F " (/) )
43	42	iffalsei 3566	. . 3 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
44		uncom 3303	. . . 4 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) )
45		un0 3480	. . . 4 |- ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
46	44, 45	eqtri 2214	. . 3 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
47		dm0 4876	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
48	47	opeq1i 3807	. . . 4 |- <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. = <. (/) , ( F ` (/) ) >.
49	48	sneqi 3630	. . 3 |- { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
50	43, 46, 49	3eqtri 2218	. 2 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
51	38, 50	eqtrdi 2242	1 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12572