Theorem ennnfonelem1 12649

Description: Lemma for ennnfone 12667. Second value. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem1	|- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . 4 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
8		0nn0 9281	. . . . 5 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ennnfonelemp1 12648	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) )
11		1e0p1 9515	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
12	11	fveq2i 5564	. . . . 5 |- ( H ` 1 ) = ( H ` ( 0 + 1 ) )
13	12	eqcomi 2200	. . . 4 |- ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( 0 + 1 ) ) = ( H ` 1 ) )
15		0zd 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
16	15, 5	frec2uz0d 10508	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
17	16	mptru 1373	. . . . . . . 8 |- ( N ` (/) ) = 0
18	15, 5	frec2uzf1od 10515	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	mptru 1373	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
20		peano1 4631	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
21		0z 9354	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
22		uzid 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
24		f1ocnvfvb 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om /\ 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) ) )
25	19, 20, 23, 24	mp3an 1348	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` (/) ) = 0 <-> ( `' N ` 0 ) = (/) )
26	17, 25	mpbi 145	. . . . . . 7 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
27	26	fveq2i 5564	. . . . . 6 |- ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
28	26	imaeq2i 5008	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
29	27, 28	eleq12i 2264	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) )
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelem0 12647	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
32	31	dmeqd 4869	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
33	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` 0 ) ) = ( F ` (/) ) )
34	32, 33	opeq12d 3817	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. = <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. )
35	34	sneqd 3636	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
36	31, 35	uneq12d 3319	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) )
37	30, 31, 36	ifbieq12d 3588	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` 0 ) ) e. ( F " ( `' N ` 0 ) ) , ( H ` 0 ) , ( ( H ` 0 ) u. { <. dom ( H ` 0 ) , ( F ` ( `' N ` 0 ) ) >. } ) ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
38	10, 14, 37	3eqtr3d 2237	. 2 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) )
39		noel 3455	. . . . 5 |- -. ( F ` (/) ) e. (/)
40		ima0 5029	. . . . . 6 |- ( F " (/) ) = (/)
41	40	eleq2i 2263	. . . . 5 |- ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) <-> ( F ` (/) ) e. (/) )
42	39, 41	mtbir 672	. . . 4 |- -. ( F ` (/) ) e. ( F " (/) )
43	42	iffalsei 3571	. . 3 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } )
44		uncom 3308	. . . 4 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) )
45		un0 3485	. . . 4 |- ( { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } u. (/) ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
46	44, 45	eqtri 2217	. . 3 |- ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) = { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. }
47		dm0 4881	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
48	47	opeq1i 3812	. . . 4 |- <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. = <. (/) , ( F ` (/) ) >.
49	48	sneqi 3635	. . 3 |- { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
50	43, 46, 49	3eqtri 2221	. 2 |- if ( ( F ` (/) ) e. ( F " (/) ) , (/) , ( (/) u. { <. dom (/) , ( F ` (/) ) >. } ) ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. }
51	38, 50	eqtrdi 2245	1 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   u. cun 3155   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  freccfrec 6457   ^pm cpm 6717   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12657