Theorem cntzsubm 14170

Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrec.b	|- B = ( Base ` M )
cntzrec.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzsubm	|- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem cntzsubm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzrec.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		cntzrec.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
3	1, 2	cntzssv 14160	. . 3 |- ( Z ` S ) C_ B
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) C_ B )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
6	1, 5	mndidcl 13802	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( 0g ` M ) e. B )
8		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> M e. Mnd )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> S C_ B )
10	9	sselda 3248	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> x e. B )
11		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
12	1, 11, 5	mndlid 13807	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = x )
13	8, 10, 12	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = x )
14	1, 11, 5	mndrid 13808	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = x )
15	8, 10, 14	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = x )
16	13, 15	eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
17	16	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
18	1, 11, 2	elcntz 14154	. . . 4 |- ( S C_ B -> ( ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) ) ) )
19	18	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) ) ) )
20	7, 17, 19	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) )
21		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> M e. Mnd )
22		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> y e. ( Z ` S ) )
23	3, 22	sselid 3246	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> y e. B )
24		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> z e. ( Z ` S ) )
25	3, 24	sselid 3246	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> z e. B )
26	1, 11	mndcl 13795	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
28	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> M e. Mnd )
29	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> y e. B )
30	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> z e. B )
31	10	adantlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
32	1, 11	mndass 13796	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( y e. B /\ z e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
33	28, 29, 30, 31, 32	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
34	11, 2	cntzi 14162	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
35	24, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
36	35	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
37	1, 11	mndass 13796	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Mnd /\ ( y e. B /\ x e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
38	28, 29, 31, 30, 37	syl13anc 1280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
39	11, 2	cntzi 14162	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
40	22, 39	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
41	40	oveq1d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
42	36, 38, 41	3eqtr2d 2277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
43	1, 11	mndass 13796	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
44	28, 31, 29, 30, 43	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
45	33, 42, 44	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
46	45	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
47	1, 11, 2	elcntz 14154	. . . . 5 |- ( S C_ B -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
48	47	ad2antlr 493	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
49	27, 46, 48	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) )
50	49	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) )
51	1, 5, 11	issubm 13838	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) /\ A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) ) ) )
52	51	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) /\ A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) ) ) )
53	4, 20, 50, 52	mpbir3and 1211	1 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  SubMndcsubmnd 13824  Cntzccntz 14146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-submnd 13826  df-cntz 14148

This theorem is used by:  cntzsubg  14171