Theorem cntzsgrpcl 14161

Description: Centralizers are closed under the semigroup operation. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsgrpcl.b	|- B = ( Base ` M )
cntzsgrpcl.z	|- Z = (Cntz ` M )
cntzsgrpcl.c	|- C = ( Z ` S )

Assertion

Ref	Expression
cntzsgrpcl	|- ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) -> A. y e. C A. z e. C ( y ( +g ` M ) z ) e. C )

Distinct variable groups:   y, B, z   y, C, z   y, M, z   y, S, z   y, Z, z

Proof of Theorem cntzsgrpcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> M e. Smgrp )
2		cntzsgrpcl.c	. . . . . 6 |- C = ( Z ` S )
3		cntzsgrpcl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
4		cntzsgrpcl.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` M )
5	3, 4	cntzssv 14154	. . . . . 6 |- ( Z ` S ) C_ B
6	2, 5	eqsstri 3280	. . . . 5 |- C C_ B
7		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> y e. C )
8	6, 7	sselid 3246	. . . 4 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> y e. B )
9		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. C )
10	6, 9	sselid 3246	. . . 4 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. B )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
12	3, 11	sgrpcl 13777	. . . 4 |- ( ( M e. Smgrp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
13	1, 8, 10, 12	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
14	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> M e. Smgrp )
15	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> y e. B )
16	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> z e. B )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) -> S C_ B )
18	17	sselda 3248	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> x e. B )
19	18	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
20	3, 11	sgrpass 13776	. . . . . 6 |- ( ( M e. Smgrp /\ ( y e. B /\ z e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
21	14, 15, 16, 19, 20	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
22	2	eleq2i 2305	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C <-> z e. ( Z ` S ) )
23	11, 4	cntzi 14156	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
24	22, 23	sylanb 284	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. C /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
25	9, 24	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
26	25	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
27	3, 11	sgrpass 13776	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Smgrp /\ ( y e. B /\ x e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
28	14, 15, 19, 16, 27	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
29	2	eleq2i 2305	. . . . . . . . 9 |- ( y e. C <-> y e. ( Z ` S ) )
30	11, 4	cntzi 14156	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
31	29, 30	sylanb 284	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. C /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	7, 31	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
33	32	oveq1d 6100	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
34	26, 28, 33	3eqtr2d 2277	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
35	3, 11	sgrpass 13776	. . . . . 6 |- ( ( M e. Smgrp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
36	14, 19, 15, 16, 35	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
37	21, 34, 36	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
38	37	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
39	2	eleq2i 2305	. . . . 5 |- ( ( y ( +g ` M ) z ) e. C <-> ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) )
40	3, 11, 4	elcntz 14148	. . . . 5 |- ( S C_ B -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
41	39, 40	bitrid 192	. . . 4 |- ( S C_ B -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. C <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
42	41	ad2antlr 493	. . 3 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. C <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
43	13, 38, 42	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. C )
44	43	ralrimivva 2632	1 |- ( ( M e. Smgrp /\ S C_ B ) -> A. y e. C A. z e. C ( y ( +g ` M ) z ) e. C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484  Smgrpcsgrp 13769  Cntzccntz 14140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-cntz 14142

This theorem is used by: (None)