Theorem cntzval 14147

Description: Definition substitution for a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	|- B = ( Base ` M )
cntzfval.p	|- .+ = ( +g ` M )
cntzfval.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzval	|- ( S C_ B -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( y)   Z( x, y)

Proof of Theorem cntzval

Dummy variables m s w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvm 5729	. . . . 5 |- ( w e. ( Z ` S ) -> E. j j e. Z )
2		df-cntz 14142	. . . . . . . 8 |- Cntz = ( m e. _V |-> ( s e. ~P ( Base ` m ) |-> { x e. ( Base ` m ) | A. y e. s ( x ( +g ` m ) y ) = ( y ( +g ` m ) x ) } ) )
3	2	mptrcl 5788	. . . . . . 7 |- ( j e. (Cntz ` M ) -> M e. _V )
4		cntzfval.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` M )
5	3, 4	eleq2s 2333	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> M e. _V )
6	5	exlimiv 1651	. . . . 5 |- ( E. j j e. Z -> M e. _V )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( w e. ( Z ` S ) -> M e. _V )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( S C_ B -> ( w e. ( Z ` S ) -> M e. _V ) )
9		elrabi 2979	. . . . 5 |- ( w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } -> w e. B )
10		cntzfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
11	10	basmex 13464	. . . . 5 |- ( w e. B -> M e. _V )
12	9, 11	syl 14	. . . 4 |- ( w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } -> M e. _V )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( S C_ B -> ( w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } -> M e. _V ) )
14		raleq 2749	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
15	14	rabbidv 2810	. . . . . 6 |- ( s = S -> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
16		cntzfval.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` M )
17	10, 16, 4	cntzfval 14146	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> Z = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> Z = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> S C_ B )
20		basfn 13463	. . . . . . . . . 10 |- Base Fn _V
21		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> M e. _V )
22		funfvex 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ M e. dom Base ) -> ( Base ` M ) e. _V )
23	22	funfni 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ M e. _V ) -> ( Base ` M ) e. _V )
24	20, 21, 23	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> ( Base ` M ) e. _V )
25	10, 24	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> B e. _V )
26		elpw2g 4292	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> ( S e. ~P B <-> S C_ B ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> ( S e. ~P B <-> S C_ B ) )
28	19, 27	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> S e. ~P B )
29		eqid 2238	. . . . . . 7 |- { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) }
30	29, 25	rabexd 4281	. . . . . 6 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } e. _V )
31	15, 18, 28, 30	fvmptd4 5800	. . . . 5 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
32	31	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> ( w e. ( Z ` S ) <-> w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
33	32	expcom 116	. . 3 |- ( S C_ B -> ( M e. _V -> ( w e. ( Z ` S ) <-> w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) ) )
34	8, 13, 33	pm5.21ndd 717	. 2 |- ( S C_ B -> ( w e. ( Z ` S ) <-> w e. { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
35	34	eqrdv 2236	1 |- ( S C_ B -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484  Cntzccntz 14140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-cntz 14142

This theorem is used by:  elcntz  14148  cntzsnval  14150  sscntz  14152  cntzssv  14154