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Theorem resscntz 14160
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p |- H = ( G ↾s A )
resscntz.z |- Z = (Cntz ` G )
resscntz.y |- Y = (Cntz ` H )
Assertion
Ref Expression
resscntz |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( Y ` S ) = ( ( Z ` S ) i^i A ) )
Proof of Theorem resscntz
Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resscntz.y . . . . . . 7 |- Y = (Cntz ` H )
21cntzm 14155 . . . . . 6 |- ( x e. ( Y ` S ) -> E. w w e. H )
3 resscntz.p . . . . . . . 8 |- H = ( G ↾s A )
43ressmex 13472 . . . . . . 7 |- ( w e. H -> ( G e. _V /\ A e. _V ) )
54exlimiv 1651 . . . . . 6 |- ( E. w w e. H -> ( G e. _V /\ A e. _V ) )
62, 5syl 14 . . . . 5 |- ( x e. ( Y ` S ) -> ( G e. _V /\ A e. _V ) )
76simpld 112 . . . 4 |- ( x e. ( Y ` S ) -> G e. _V )
87a1i 9 . . 3 |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( x e. ( Y ` S ) -> G e. _V ) )
9 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) -> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) )
109elin1d 3418 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
11 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12 resscntz.z . . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
1311, 12cntzrcl 14153 . . . . . 6 |- ( x e. ( Z ` S ) -> ( G e. _V /\ S C_ ( Base ` G ) ) )
1410, 13syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) -> ( G e. _V /\ S C_ ( Base ` G ) ) )
1514simpld 112 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) -> G e. _V )
1615ex 115 . . 3 |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) -> G e. _V ) )
17 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
1817, 1cntzrcl 14153 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( Y ` S ) -> ( H e. _V /\ S C_ ( Base ` H ) ) )
1918simprd 114 . . . . . . 7 |- ( x e. ( Y ` S ) -> S C_ ( Base ` H ) )
203a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> H = ( G ↾s A ) )
21 eqidd 2239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
22 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> G e. _V )
23 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> A e. V )
2420, 21, 22, 23ressbasssd 13476 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( Base ` H ) C_ ( Base ` G ) )
2519, 24sylan9ssr 3262 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) /\ x e. ( Y ` S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
2625ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( Y ` S ) -> S C_ ( Base ` G ) ) )
27 elinel1 3415 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) -> x e. ( Z ` S ) )
2813simprd 114 . . . . . . 7 |- ( x e. ( Z ` S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
2927, 28syl 14 . . . . . 6 |- ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3029a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) -> S C_ ( Base ` G ) ) )
31 elin 3412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( Base ` G ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( Base ` G ) ) )
3220, 21, 22, 23ressbasd 13474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( A i^i ( Base ` G ) ) = ( Base ` H ) )
3332eleq2d 2308 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( A i^i ( Base ` G ) ) <-> x e. ( Base ` H ) ) )
3431, 33bitr3id 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( ( x e. A /\ x e. ( Base ` G ) ) <-> x e. ( Base ` H ) ) )
35 eqidd 2239 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
3620, 35, 23, 22ressplusgd 13536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
3736oveqd 6102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
3836oveqd 6102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( y ( +g ` H ) x ) )
3937, 38eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) )
4039ralbidv 2550 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) )
4134, 40anbi12d 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. ( Base ` G ) ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) ) )
42 anass 405 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ x e. ( Base ` G ) ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
4341, 42bitr3di 195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( ( x e. ( Base ` H ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) )
4443adantlr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( ( x e. ( Base ` H ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) )
45 simpllr 540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> S C_ A )
46 simplr 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> S C_ ( Base ` G ) )
47 ssin 3453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ A /\ S C_ ( Base ` G ) ) <-> S C_ ( A i^i ( Base ` G ) ) )
4832sseq2d 3278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( S C_ ( A i^i ( Base ` G ) ) <-> S C_ ( Base ` H ) ) )
4948adantlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( S C_ ( A i^i ( Base ` G ) ) <-> S C_ ( Base ` H ) ) )
5047, 49bitrid 192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( ( S C_ A /\ S C_ ( Base ` G ) ) <-> S C_ ( Base ` H ) ) )
5145, 46, 50mpbi2and 956 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> S C_ ( Base ` H ) )
52 eqid 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
5317, 52, 1elcntz 14148 . . . . . . . . 9 |- ( S C_ ( Base ` H ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) ) )
5451, 53syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` H ) y ) = ( y ( +g ` H ) x ) ) ) )
55 elin 3412 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) <-> ( x e. ( Z ` S ) /\ x e. A ) )
5655biancomi 270 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) <-> ( x e. A /\ x e. ( Z ` S ) ) )
57 eqid 2238 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5811, 57, 12elcntz 14148 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> ( x e. ( Z ` S ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5958adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( Z ` S ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6059anbi2d 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. ( Z ` S ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) )
6156, 60bitrid 192 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) )
6261adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) <-> ( x e. A /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) ) )
6344, 54, 623bitr4d 220 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) )
6463ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ S C_ ( Base ` G ) ) -> ( G e. _V -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) ) )
6564impancom 260 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( S C_ ( Base ` G ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) ) )
6626, 30, 65pm5.21ndd 717 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ S C_ A ) /\ G e. _V ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) )
6766ex 115 . . 3 |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( G e. _V -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) ) )
688, 16, 67pm5.21ndd 717 . 2 |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( x e. ( Y ` S ) <-> x e. ( ( Z ` S ) i^i A ) ) )
6968eqrdv 2236 1 |- ( ( A e. V /\ S C_ A ) -> ( Y ` S ) = ( ( Z ` S ) i^i A ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   ↾s cress 13405   +g cplusg 13484  Cntzccntz 14140
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-cntz 14142
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