Theorem elicod 10479

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	|- ( ph -> A e. RR* )
elicod.b	|- ( ph -> B e. RR* )
elicod.3	|- ( ph -> C e. RR* )
elicod.4	|- ( ph -> A <_ C )
elicod.5	|- ( ph -> C < B )

Assertion

Ref	Expression
elicod	|- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR* )
2		elicod.4	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
3		elicod.5	. 2 |- ( ph -> C < B )
4		elicod.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
5		elicod.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
6		elico1 10115	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1204	1 |- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RR*cxr 8176   < clt 8177   <_ cle 8178   [,)cico 10082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ico 10086

This theorem is referenced by:  fprodge1  12145