Theorem elicod 10200

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	|- ( ph -> A e. RR* )
elicod.b	|- ( ph -> B e. RR* )
elicod.3	|- ( ph -> C e. RR* )
elicod.4	|- ( ph -> A <_ C )
elicod.5	|- ( ph -> C < B )

Assertion

Ref	Expression
elicod	|- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR* )
2		elicod.4	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
3		elicod.5	. 2 |- ( ph -> C < B )
4		elicod.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
5		elicod.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
6		elico1 9859	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1170	1 |- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   [,)cico 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ico 9830

This theorem is referenced by:  fprodge1  11580