Theorem elicod 10371

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	|- ( ph -> A e. RR* )
elicod.b	|- ( ph -> B e. RR* )
elicod.3	|- ( ph -> C e. RR* )
elicod.4	|- ( ph -> A <_ C )
elicod.5	|- ( ph -> C < B )

Assertion

Ref	Expression
elicod	|- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR* )
2		elicod.4	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
3		elicod.5	. 2 |- ( ph -> C < B )
4		elicod.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
5		elicod.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
6		elico1 10015	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1182	1 |- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   [,)cico 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ico 9986

This theorem is referenced by:  fprodge1  11821