Theorem elicod 10405

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	|- ( ph -> A e. RR* )
elicod.b	|- ( ph -> B e. RR* )
elicod.3	|- ( ph -> C e. RR* )
elicod.4	|- ( ph -> A <_ C )
elicod.5	|- ( ph -> C < B )

Assertion

Ref	Expression
elicod	|- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR* )
2		elicod.4	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
3		elicod.5	. 2 |- ( ph -> C < B )
4		elicod.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
5		elicod.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
6		elico1 10044	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1182	1 |- ( ph -> C e. ( A [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   RR*cxr 8105   < clt 8106   <_ cle 8107   [,)cico 10011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ico 10015

This theorem is referenced by:  fprodge1  11892