Theorem dfrp2 10261

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	|- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 9778	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x < +oo )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> x < +oo )
3	2	pm4.71i 391	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
4		df-3an 980	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
6		elrp 9653	. . 3 |- ( x e. RR+ <-> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
7		0xr 8002	. . . 4 |- 0 e. RR*
8		pnfxr 8008	. . . 4 |- +oo e. RR*
9		elioo2 9919	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
11	5, 6, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. RR+ <-> x e. ( 0 (,) +oo ) )
12	11	eqriv 2174	1 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   +oocpnf 7987   RR*cxr 7989   < clt 7990   RR+crp 9651   (,)cioo 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-rp 9652  df-ioo 9890

This theorem is referenced by: (None)