Theorem dfrp2 10627

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	|- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 10116	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x < +oo )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> x < +oo )
3	2	pm4.71i 391	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
4		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
6		elrp 9991	. . 3 |- ( x e. RR+ <-> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
7		0xr 8322	. . . 4 |- 0 e. RR*
8		pnfxr 8328	. . . 4 |- +oo e. RR*
9		elioo2 10257	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
11	5, 6, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. RR+ <-> x e. ( 0 (,) +oo ) )
12	11	eqriv 2231	1 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   +oocpnf 8307   RR*cxr 8309   < clt 8310   RR+crp 9989   (,)cioo 10224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-rp 9990  df-ioo 10228

This theorem is referenced by: (None)