Theorem dfrp2 10220

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	|- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 9737	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x < +oo )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> x < +oo )
3	2	pm4.71i 389	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
4		df-3an 975	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
5	3, 4	bitr4i 186	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
6		elrp 9612	. . 3 |- ( x e. RR+ <-> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
7		0xr 7966	. . . 4 |- 0 e. RR*
8		pnfxr 7972	. . . 4 |- +oo e. RR*
9		elioo2 9878	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) ) )
10	7, 8, 9	mp2an 424	. . 3 |- ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
11	5, 6, 10	3bitr4i 211	. 2 |- ( x e. RR+ <-> x e. ( 0 (,) +oo ) )
12	11	eqriv 2167	1 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   +oocpnf 7951   RR*cxr 7953   < clt 7954   RR+crp 9610   (,)cioo 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-rp 9611  df-ioo 9849

This theorem is referenced by: (None)