Theorem dfrp2 10326

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	|- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 9840	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x < +oo )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> x < +oo )
3	2	pm4.71i 391	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
4		df-3an 982	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ x < +oo ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
6		elrp 9715	. . 3 |- ( x e. RR+ <-> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
7		0xr 8060	. . . 4 |- 0 e. RR*
8		pnfxr 8066	. . . 4 |- +oo e. RR*
9		elioo2 9981	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( x e. ( 0 (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < +oo ) )
11	5, 6, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. RR+ <-> x e. ( 0 (,) +oo ) )
12	11	eqriv 2190	1 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5914   RRcr 7865   0cc0 7866   +oocpnf 8045   RR*cxr 8047   < clt 8048   RR+crp 9713   (,)cioo 9948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958  ax-1re 7960  ax-addrcl 7963  ax-rnegex 7975  ax-pre-ltirr 7978  ax-pre-ltwlin 7979  ax-pre-lttrn 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fv 5258  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ltxr 8053  df-le 8054  df-rp 9714  df-ioo 9952

This theorem is referenced by: (None)