Theorem icogelb 10328

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icogelb	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,) B ) ) -> A <_ C )

Proof of Theorem icogelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 9983	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
2		simp2 1000	. . 3 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) -> A <_ C )
3	1, 2	biimtrdi 163	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) -> A <_ C ) )
4	3	3impia 1202	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,) B ) ) -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5914   RR*cxr 8047   < clt 8048   <_ cle 8049   [,)cico 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fv 5258  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ico 9954

This theorem is referenced by:  fprodge0  11774  fprodge1  11776