Theorem elmapssres 6560

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	|- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6557	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )
2		fssres 5293	. . 3 |- ( ( A : C --> B /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
4		elmapex 6556	. . . . 5 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> B e. _V )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> B e. _V )
7	4	simprd 113	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> C e. _V )
8		ssexg 4062	. . . . 5 |- ( ( D C_ C /\ C e. _V ) -> D e. _V )
9	8	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ D C_ C ) -> D e. _V )
10	7, 9	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> D e. _V )
11	6, 10	elmapd 6549	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( ( A |` D ) e. ( B ^m D ) <-> ( A |` D ) : D --> B ) )
12	3, 11	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   |` cres 4536   -->wf 5114  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537

This theorem is referenced by: (None)