ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmapssres Unicode version

Theorem elmapssres 6700
Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapssres  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem elmapssres
StepHypRef Expression
1 elmapi 6697 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
2 fssres 5410 . . 3  |-  ( ( A : C --> B  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D ) : D --> B )
31, 2sylan 283 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D ) : D --> B )
4 elmapex 6696 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
54simpld 112 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  B  e.  _V )
65adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  ->  B  e.  _V )
74simprd 114 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  C  e.  _V )
8 ssexg 4157 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  D  e.  _V )
98ancoms 268 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  D  C_  C )  ->  D  e.  _V )
107, 9sylan 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  ->  D  e.  _V )
116, 10elmapd 6689 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( ( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( A  |`  D ) : D --> B ) )
123, 11mpbird 167 1  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    C_ wss 3144    |` cres 4646   -->wf 5231  (class class class)co 5897    ^m cmap 6675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-map 6677
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator