Theorem elmapssres 6700

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	|- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6697	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )
2		fssres 5410	. . 3 |- ( ( A : C --> B /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
4		elmapex 6696	. . . . 5 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	simpld 112	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> B e. _V )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> B e. _V )
7	4	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> C e. _V )
8		ssexg 4157	. . . . 5 |- ( ( D C_ C /\ C e. _V ) -> D e. _V )
9	8	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ D C_ C ) -> D e. _V )
10	7, 9	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> D e. _V )
11	6, 10	elmapd 6689	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( ( A |` D ) e. ( B ^m D ) <-> ( A |` D ) : D --> B ) )
12	3, 11	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   |` cres 4646   -->wf 5231  (class class class)co 5897   ^m cmap 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-map 6677

This theorem is referenced by: (None)