ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmapssres Unicode version

Theorem elmapssres 6718
Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapssres  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem elmapssres
StepHypRef Expression
1 elmapi 6715 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
2 fssres 5421 . . 3  |-  ( ( A : C --> B  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D ) : D --> B )
31, 2sylan 283 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D ) : D --> B )
4 elmapex 6714 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
54simpld 112 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  B  e.  _V )
65adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  ->  B  e.  _V )
74simprd 114 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  C  e.  _V )
8 ssexg 4168 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  D  e.  _V )
98ancoms 268 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  D  C_  C )  ->  D  e.  _V )
107, 9sylan 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  ->  D  e.  _V )
116, 10elmapd 6707 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( ( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( A  |`  D ) : D --> B ) )
123, 11mpbird 167 1  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D  C_  C )  -> 
( A  |`  D )  e.  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2164   _Vcvv 2760    C_ wss 3153    |` cres 4657   -->wf 5242  (class class class)co 5910    ^m cmap 6693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-map 6695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator