Theorem elmapssres 6639

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	|- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6636	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )
2		fssres 5363	. . 3 |- ( ( A : C --> B /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
4		elmapex 6635	. . . . 5 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> B e. _V )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> B e. _V )
7	4	simprd 113	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> C e. _V )
8		ssexg 4121	. . . . 5 |- ( ( D C_ C /\ C e. _V ) -> D e. _V )
9	8	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ D C_ C ) -> D e. _V )
10	7, 9	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> D e. _V )
11	6, 10	elmapd 6628	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( ( A |` D ) e. ( B ^m D ) <-> ( A |` D ) : D --> B ) )
12	3, 11	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   |` cres 4606   -->wf 5184  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by: (None)