Theorem elmapssres 6647

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	|- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6644	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )
2		fssres 5371	. . 3 |- ( ( A : C --> B /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
4		elmapex 6643	. . . . 5 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> B e. _V )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> B e. _V )
7	4	simprd 113	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> C e. _V )
8		ssexg 4126	. . . . 5 |- ( ( D C_ C /\ C e. _V ) -> D e. _V )
9	8	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ D C_ C ) -> D e. _V )
10	7, 9	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> D e. _V )
11	6, 10	elmapd 6636	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( ( A |` D ) e. ( B ^m D ) <-> ( A |` D ) : D --> B ) )
12	3, 11	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   |` cres 4611   -->wf 5192  (class class class)co 5850   ^m cmap 6622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-map 6624

This theorem is referenced by: (None)