Theorem elmapssres 6497

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	|- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6494	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )
2		fssres 5234	. . 3 |- ( ( A : C --> B /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
3	1, 2	sylan 279	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) : D --> B )
4		elmapex 6493	. . . . 5 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> B e. _V )
6	5	adantr 272	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> B e. _V )
7	4	simprd 113	. . . 4 |- ( A e. ( B ^m C ) -> C e. _V )
8		ssexg 4007	. . . . 5 |- ( ( D C_ C /\ C e. _V ) -> D e. _V )
9	8	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ D C_ C ) -> D e. _V )
10	7, 9	sylan 279	. . 3 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> D e. _V )
11	6, 10	elmapd 6486	. 2 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( ( A |` D ) e. ( B ^m D ) <-> ( A |` D ) : D --> B ) )
12	3, 11	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( B ^m C ) /\ D C_ C ) -> ( A |` D ) e. ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   |` cres 4479   -->wf 5055  (class class class)co 5706   ^m cmap 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-map 6474

This theorem is referenced by: (None)