Theorem fpmg 6742

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fpmg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )

Proof of Theorem fpmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3204	. . . 4 |- A C_ A
2		elpm2r 6734	. . . 4 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ A ) ) -> F e. ( B ^pm A ) )
3	1, 2	mpanr2 438	. . 3 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )
4	3	3impa 1196	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )
5	4	3com12 1209	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   C_ wss 3157   -->wf 5255  (class class class)co 5925   ^pm cpm 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pm 6719

This theorem is referenced by:  fpm  6749  mapsspm  6750  dvidsslem  15013  dvef  15047