Theorem fpmg 6763

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fpmg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )

Proof of Theorem fpmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3213	. . . 4 |- A C_ A
2		elpm2r 6755	. . . 4 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ A ) ) -> F e. ( B ^pm A ) )
3	1, 2	mpanr2 438	. . 3 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )
4	3	3impa 1197	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )
5	4	3com12 1210	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A --> B ) -> F e. ( B ^pm A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   C_ wss 3166   -->wf 5268  (class class class)co 5946   ^pm cpm 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pm 6740

This theorem is referenced by:  fpm  6770  mapsspm  6771  dvidsslem  15198  dvef  15232