Theorem elmapssres 6651

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷))

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2		fssres 5373	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵)
3	1, 2	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵)
4		elmapex 6647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
5	4	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
6	5	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
7	4	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		ssexg 4128	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ V)
9	8	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐷 ∈ V)
10	7, 9	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐷 ∈ V)
11	6, 10	elmapd 6640	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → ((𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵))
12	3, 11	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121   ↾ cres 4613  ⟶wf 5194  (class class class)co 5853   ↑_𝑚 cmap 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628

This theorem is referenced by: (None)