Theorem elmapssres 6567

Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapssres	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷))

Proof of Theorem elmapssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2		fssres 5298	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵)
3	1, 2	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵)
4		elmapex 6563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
5	4	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
6	5	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
7	4	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		ssexg 4067	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ V)
9	8	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐷 ∈ V)
10	7, 9	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → 𝐷 ∈ V)
11	6, 10	elmapd 6556	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → ((𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐴 ↾ 𝐷):𝐷⟶𝐵))
12	3, 11	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071   ↾ cres 4541  ⟶wf 5119  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by: (None)