Theorem elmapi 6917

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6916	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6908	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   -->wf 5353  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897

This theorem is referenced by:  elmapfn  6918  elmapfun  6919  elmapssres  6920  mapsspm  6929  map0b  6934  mapss  6939  mapsncnv  6943  mapen  7112  mapxpen  7114  mapunen  7117  2omap  7282  nninff  7426  ismkvnex  7459  nninfwlpoim  7483  nninfinfwlpo  7484  finacn  7524  acnccim  7602  psrbagf  14944  psrbagfi  14949  mplsubgfilemcl  14980  plycn  15753  dvply2g  15757  bj-charfunr  16706  nninfalllem1  16912  nninfall  16913  nninfsellemdc  16914  nninfsellemqall  16919  nninfomnilem  16922  isomninnlem  16940  trilpo  16953  iswomninnlem  16960  iswomni0  16962  ismkvnnlem  16963  redcwlpo  16966  nconstwlpo  16978  neapmkv  16980