Theorem elmapi 6825

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6824	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6816	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   -->wf 5314  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805

This theorem is referenced by:  elmapfn  6826  elmapfun  6827  elmapssres  6828  mapsspm  6837  map0b  6842  mapss  6846  mapsncnv  6850  mapen  7015  mapxpen  7017  nninff  7300  ismkvnex  7333  nninfwlpoim  7357  nninfinfwlpo  7358  finacn  7397  acnccim  7469  psrbagf  14649  psrbagfi  14652  mplsubgfilemcl  14678  plycn  15451  dvply2g  15455  bj-charfunr  16228  2omap  16418  nninfalllem1  16434  nninfall  16435  nninfsellemdc  16436  nninfsellemqall  16441  nninfomnilem  16444  isomninnlem  16458  trilpo  16471  iswomninnlem  16477  iswomni0  16479  ismkvnnlem  16480  redcwlpo  16483  nconstwlpo  16494  neapmkv  16496