Theorem elmapi 6724

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6723	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6715	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   -->wf 5250  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704

This theorem is referenced by:  elmapfn  6725  elmapfun  6726  elmapssres  6727  mapsspm  6736  map0b  6741  mapss  6745  mapsncnv  6749  mapen  6902  mapxpen  6904  nninff  7181  ismkvnex  7214  nninfwlpoim  7237  psrbagf  14156  bj-charfunr  15302  nninfalllem1  15498  nninfall  15499  nninfsellemdc  15500  nninfsellemqall  15505  nninfomnilem  15508  isomninnlem  15520  trilpo  15533  iswomninnlem  15539  iswomni0  15541  ismkvnnlem  15542  redcwlpo  15545  nconstwlpo  15556  neapmkv  15558