Theorem elmapi 6944

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6943	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6935	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   -->wf 5373  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924

This theorem is used by:  mapfset  6945  elmapfn  6952  elmapfun  6953  elmapssres  6954  mapsspm  6963  map0b  6968  mapss  6973  mapsncnv  6977  mapen  7146  mapxpen  7148  mapunen  7151  2omap  7318  nninff  7462  ismkvnex  7495  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  finacn  7560  acnccim  7638  psrbagf  15054  psrbagfi  15059  mplsubgfilemcl  15090  plycn  15863  dvply2g  15867  bj-charfunr  16836  nninfalllem1  17051  nninfall  17052  nninfsellemdc  17053  nninfsellemqall  17058  nninfomnilem  17061  isomninnlem  17079  trilpo  17092  iswomninnlem  17099  iswomni0  17101  ismkvnnlem  17102  redcwlpo  17105  nconstwlpo  17116  neapmkv  17118