Theorem elmapi 6948

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6947	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6939	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   -->wf 5376  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6928

This theorem is used by:  mapfset  6949  elmapfn  6956  elmapfun  6957  elmapssres  6958  mapsspm  6967  map0b  6972  mapss  6977  mapsncnv  6981  mapen  7150  mapxpen  7152  mapunen  7155  2omap  7324  nninff  7468  ismkvnex  7501  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  finacn  7566  acnccim  7644  psrbagf  15163  psrbagfi  15168  mplsubgfilemcl  15215  plycn  15988  dvply2g  15992  bj-charfunr  17041  nninfalllem1  17257  nninfall  17258  nninfsellemdc  17259  nninfsellemqall  17264  nninfomnilem  17267  isomninnlem  17285  trilpo  17299  iswomninnlem  17306  iswomni0  17308  ismkvnnlem  17309  redcwlpo  17312  nconstwlpo  17323  neapmkv  17325