Theorem elmapi 6918

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	|- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6917	. . 3 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
2		elmapg 6909	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( A e. ( B ^m C ) <-> A : C --> B ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> A : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   -->wf 5354  (class class class)co 6059   ^m cmap 6896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-map 6898

This theorem is referenced by:  elmapfn  6919  elmapfun  6920  elmapssres  6921  mapsspm  6930  map0b  6935  mapss  6940  mapsncnv  6944  mapen  7113  mapxpen  7115  mapunen  7118  2omap  7283  nninff  7427  ismkvnex  7460  nninfwlpoim  7484  nninfinfwlpo  7485  finacn  7525  acnccim  7603  psrbagf  14949  psrbagfi  14954  mplsubgfilemcl  14985  plycn  15758  dvply2g  15762  bj-charfunr  16721  nninfalllem1  16927  nninfall  16928  nninfsellemdc  16929  nninfsellemqall  16934  nninfomnilem  16937  isomninnlem  16955  trilpo  16968  iswomninnlem  16975  iswomni0  16977  ismkvnnlem  16978  redcwlpo  16981  nconstwlpo  16992  neapmkv  16994