Theorem elovmpo 6039

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpo.d	|- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
elovmpo.c	|- C e. _V
elovmpo.e	|- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
elovmpo	|- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   E, a, b   F, a, b   X, a, b   Y, a, b

Allowed substitution hints:   C( a, b)   D( a, b)

Proof of Theorem elovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpo.d	. . . 4 |- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
2	1	elmpocl 6036	. . 3 |- ( F e. ( X D Y ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
3		elovmpo.c	. . . . . . 7 |- C e. _V
4	3	gen2 1438	. . . . . 6 |- A. a A. b C e. _V
5		elovmpo.e	. . . . . . . 8 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )
6	5	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( C e. _V <-> E e. _V ) )
7	6	spc2gv 2817	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. a A. b C e. _V -> E e. _V ) )
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> E e. _V )
9	5, 1	ovmpoga 5971	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ E e. _V ) -> ( X D Y ) = E )
10	8, 9	mpd3an3 1328	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X D Y ) = E )
11	10	eleq2d 2236	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X D Y ) <-> F e. E ) )
12	2, 11	biadan2 452	. 2 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
13		df-3an 970	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
14	12, 13	bitr4i 186	1 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847

This theorem is referenced by: (None)