Theorem elovmpo 6278

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpo.d	|- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
elovmpo.c	|- C e. _V
elovmpo.e	|- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
elovmpo	|- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   E, a, b   F, a, b   X, a, b   Y, a, b

Allowed substitution hints:   C( a, b)   D( a, b)

Proof of Theorem elovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpo.d	. . . 4 |- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
2	1	elmpocl 6274	. . 3 |- ( F e. ( X D Y ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
3		elovmpo.c	. . . . . . 7 |- C e. _V
4	3	gen2 1503	. . . . . 6 |- A. a A. b C e. _V
5		elovmpo.e	. . . . . . . 8 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )
6	5	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( C e. _V <-> E e. _V ) )
7	6	spc2gv 2916	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. a A. b C e. _V -> E e. _V ) )
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> E e. _V )
9	5, 1	ovmpoga 6208	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ E e. _V ) -> ( X D Y ) = E )
10	8, 9	mpd3an3 1379	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X D Y ) = E )
11	10	eleq2d 2308	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X D Y ) <-> F e. E ) )
12	2, 11	biadan2 460	. 2 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
13		df-3an 1011	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
14	12, 13	bitr4i 187	1 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080

This theorem is referenced by: (None)