ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpo Unicode version

Theorem elovmpo 5964
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpo.d  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
elovmpo.c  |-  C  e. 
_V
elovmpo.e  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
elovmpo  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Distinct variable groups:    A, a, b    B, a, b    E, a, b    F, a, b    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hints:    C( a, b)    D( a, b)

Proof of Theorem elovmpo
StepHypRef Expression
1 elovmpo.d . . . 4  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
21elmpocl 5961 . . 3  |-  ( F  e.  ( X D Y )  ->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )
)
3 elovmpo.c . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
43gen2 1426 . . . . . 6  |-  A. a A. b  C  e.  _V
5 elovmpo.e . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
65eleq1d 2206 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  ( C  e.  _V  <->  E  e.  _V ) )
76spc2gv 2771 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. a A. b  C  e.  _V  ->  E  e.  _V )
)
84, 7mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  E  e.  _V )
95, 1ovmpoga 5893 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  E  e.  _V )  ->  ( X D Y )  =  E )
108, 9mpd3an3 1316 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X D Y )  =  E )
1110eleq2d 2207 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X D Y )  <-> 
F  e.  E ) )
122, 11biadan2 451 . 2  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  /\  F  e.  E
) )
13 df-3an 964 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B
)  /\  F  e.  E ) )
1412, 13bitr4i 186 1  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2681  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator