Theorem elovmpo 6231

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpo.d	|- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
elovmpo.c	|- C e. _V
elovmpo.e	|- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
elovmpo	|- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   E, a, b   F, a, b   X, a, b   Y, a, b

Allowed substitution hints:   C( a, b)   D( a, b)

Proof of Theorem elovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpo.d	. . . 4 |- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
2	1	elmpocl 6227	. . 3 |- ( F e. ( X D Y ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
3		elovmpo.c	. . . . . . 7 |- C e. _V
4	3	gen2 1499	. . . . . 6 |- A. a A. b C e. _V
5		elovmpo.e	. . . . . . . 8 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )
6	5	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( C e. _V <-> E e. _V ) )
7	6	spc2gv 2898	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. a A. b C e. _V -> E e. _V ) )
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> E e. _V )
9	5, 1	ovmpoga 6161	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ E e. _V ) -> ( X D Y ) = E )
10	8, 9	mpd3an3 1375	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X D Y ) = E )
11	10	eleq2d 2301	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X D Y ) <-> F e. E ) )
12	2, 11	biadan2 456	. 2 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
13		df-3an 1007	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
14	12, 13	bitr4i 187	1 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033

This theorem is referenced by: (None)