ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpo Unicode version

Theorem elovmpo 6047
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpo.d  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
elovmpo.c  |-  C  e. 
_V
elovmpo.e  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
elovmpo  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Distinct variable groups:    A, a, b    B, a, b    E, a, b    F, a, b    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hints:    C( a, b)    D( a, b)

Proof of Theorem elovmpo
StepHypRef Expression
1 elovmpo.d . . . 4  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
21elmpocl 6044 . . 3  |-  ( F  e.  ( X D Y )  ->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )
)
3 elovmpo.c . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
43gen2 1443 . . . . . 6  |-  A. a A. b  C  e.  _V
5 elovmpo.e . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
65eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  ( C  e.  _V  <->  E  e.  _V ) )
76spc2gv 2821 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. a A. b  C  e.  _V  ->  E  e.  _V )
)
84, 7mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  E  e.  _V )
95, 1ovmpoga 5979 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  E  e.  _V )  ->  ( X D Y )  =  E )
108, 9mpd3an3 1333 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X D Y )  =  E )
1110eleq2d 2240 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X D Y )  <-> 
F  e.  E ) )
122, 11biadan2 453 . 2  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  /\  F  e.  E
) )
13 df-3an 975 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B
)  /\  F  e.  E ) )
1412, 13bitr4i 186 1  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973   A.wal 1346    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730  (class class class)co 5850    e. cmpo 5852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator